1引言

勾股定理是数学中的一个基本定理,是几何学中的明珠,既重要又简单.千百年来,人们对它的证明趋之若骛,才使它成百次地反复被人论证,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统.勾股定理也是已知证明方法最多的一个数学定理.一位叫卢米斯(E.S.Loomis)的数学家搜集各种证明方法,于 1940 年出版《毕达哥拉斯命题》(The Pythagorean Proposition)一书,载有 367 种证法.^[1]1978 年一位叫刘毓璋的先生在台湾出版名为《易经之数理思想》的著作,其中第一章“商高定理”中给出他“搜集及自己创造发明”的证明方法 85 种.由此可知,勾股定理的证明方法恐怕要突破 500 种了.^[2]

目前,国内外对勾股定理的研究大多从某一个方面着手,如勾股定理的起源、证明方法、推广、应用等几个方面,还未出现综合几个方面来探索勾股定理的论著.本文综合勾股定理的起源、名称、证明、应用、推广及影响等方面,对勾股定理进行了比较系统的论述,并结合历史对勾股定理的教学进行了探究.

2勾股定理的沿革

2.1中国的勾股定理

中国成书于公元前1世纪的《周髀算经》第一章中指出:昔者周公(注:公元前11世纪周武王的大臣)问于商高(注:学者)曰:“窃闻科大夫善数也,请问古者包牺立周历度.夫天不可阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高曰:“数之法,出于方圆.圆出于方.方出于矩,矩出于九九八十一.故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五.既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五.两矩共长二十有五,是谓积矩.故禹之所以治天下者,此数之所生也.”

《周髀算经》另有记载:周髀长八尺,夏至之日晷一尺六寸.髀者,股也,正晷者,勾也.正南千里,勾一尺五寸,正北千里,勾一尺七寸.日益表南,晷日益长.候勾六尺,即取竹,空经一寸,长八尺,捕影而观之,室正掩日,而日应空之孔.由此观之,率八十寸而得径寸,故此勾为首,以髀为股,从髀至日下六万里而髀无影,从此以上至日,则八万里.这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践.

基于上述渊源,中国学者一般把此定理叫做“勾股定理”或商高定理,说明了这时中国已掌握了一般性的勾股定理.

2.2勾股定理在古希腊的起源

勾股定理在西方国家一律叫做“毕达哥拉斯定理”,因为大家都相信它是古希腊数学家毕达哥拉斯最先发现的,或者至少是他最先证明的,但些说法都没有确凿的证据.公元前2世纪,希腊一位学者阿波罗多罗斯(Apollodorus,公元前140年前后)用诗句写了一本书《希腊编年史》(Chronicle),其中提到“毕达哥拉斯为了庆祝他发现了那个著名的定理,宰牛来作祭神的牺牲.”但是没有指出哪一个定理,后来普鲁塔克提出质疑：为它宰牛的那个定理,究竟是关于直角三角形斜边的定理(勾股定理),还是关于面积的贴合(application of areas)西塞罗(M.T.Cicero,公元前106-公元前43,罗马政治家、作家)也引用过这样的内容,但是也不相信宰了牛,因为毕达哥拉斯是主张素食的,反对杀生.后来有很多人依据阿波罗多罗斯的话去推断.如阿特纳奥斯(Athenaeus,公元200左右,希腊语法家)、波菲利(Porphyry,公元233-304,哲学家)、第欧根尼、普罗克洛斯等,都相信那是勾股定理.公元3世纪后,有人将勾股定理称为毕达哥拉斯定理,一直沿用至今.我们相信毕达哥拉斯的确发现了形的勾股定理,也做了某种证明,得到了a²+b²=c²,以后被欧几里得编入《几何原本》中命题47.

2.3勾股定理在古埃及的历史起源

在古埃及,尼罗河定期泛滥,一般每年7月中旬开始,淹没全部谷地.11月洪水逐渐退去,土地上留下肥沃的淤泥.1月在松软的土壤里播种,并且收成丰富.但是每次洪水都冲跑一些土地,就需要测量损失地段的面积.于是埃及有了几何学,后来希腊人又从那里学到了它.生产实践促使几何学产生,不仅在埃及,在古代中国也是这样,例如《九章算术》等书,几何图形叫做方田(正方形),直田(或广田,长方形),圭田(三角形)等等.在古埃及,那些测量人员有一个专名,叫做“拉绳者”(harpedonaptae,ropestretchers).

他们测量用到了直角,他们这样来做直角：“拉绳者”拿长度已知的绳子,并在绳上等间距的打13个结,绳子分为12段.然后用桩把绳子钉在地上,把桩2、桩3钉在第 4、第8结上,而桩1钉在第1和第13结的相结处,便构成边长为3、4、5的直角三角形.虽然古埃及人可以测量直角三角形土地,建造世界闻名的金字塔,但从目前发现的史料中没找到说明古埃及人发现勾股定理的文字.希望以后能发现更多的埃及史料.

2.4勾股定理在巴比伦的历史起源

 从现有的史料看,古巴比伦人使用勾股定理和勾股数比其他文明古国(中国、印度、埃及)要早1000年以上.早在巴比伦王国时期,已有许多有关勾股定理的应用题.如编号为BM85196的一块泥板,第9题：有一根长为0;30的木梁(AB)竖直靠在墙上,上端(A)下滑0;6(至D),问下端(C)离墙根(B)多远？解题就使用了勾股定理,设BC=a,AD=h,则BD=l−h,a=.题目是60进记数法,如果换成10进制,ΔDBC正是以3、4、5为边的勾股形.

由于有实物证据,所以断定巴比伦人已经掌握了一般的勾股定理和勾股数的公式是不容置疑的,但是没有发现勾股定理的文字记载.

2.5勾股定理在印度的历史起源

在印度古书《测绳的法规》明确表述了勾股定理：矩形对角线给出的面积,等于长和宽分别给出的面积之和.《法规》还出现了若干组"勾股数",即不定方程x²+y²=z²的正整数解.如在《包德哈耶讷〈测绳的法规〉》中有(3,4,5),(9,12,15),…,(72,96,120).另外还有(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(12,35,37).

《法规》矩形对角线所给出的面积等于(矩形)长与宽所分别给出的面积之和.如果矩形的宽和长分别是a和b,对角线长是c,那么a²+b²=c².在印度早期文化中并未发现任何直接或间接的证明勾股定理的证据.印度给出这个定理的证明的是12世纪的印度数学家婆什迦罗二世(BhaskaraII),婆什迦罗二世在他的著作《根的计算》(vi诅．Ganila)第5章第146节中以一个例子来叙述和证明这个定理：“求直角三角形的斜边是多少,这个直角三角形的两条直角边分别是15和20,并且说明计算的过程.”婆什迦罗计算这个三角形斜边的方法其实就是这个定理的证明.这也表明印度发现勾股定理比中国、希腊都晚很多年.

3勾股定理价值

3.1勾股定理的文化价值

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,两种名称是两种不同的文化符号,它们表达着不同的文化内涵,它们的诱人之处是各自独特的目标取向,逻辑起点,思想方法及其构图方式勾股定理蕴藏着浓厚的文化气息,它告诉人们,数学不仅仅是一堆数字符号的计算和证明游戏,它也是前人智慧的结晶,千古传承的文化使中国古代人们在长期农业劳作中形成了实用的观点,反映在数学价值中就表现为实用性,中国古代数学实际上主要保留、传播于作为技艺应用的群体之中,如丈量土地、建筑房屋、商贩交易、税收、运输、修改历法,但在数学方面也只是计算工具,实际上是以自身为研究对象而不是以自然为对象,以是否有用为价值观,对人有用的就是最有价值的,这也就使数学成为了解决人们实际困难的工具.正是由于古代中国数学的这种实用的观念,在古代数学一直没能成为独立的学科,也没能被统治者重视,它的传播也只是通过师徒之间的传授,没有形成官方的教学模式,但中国古代数学的思维方式对现代的影响却是不可否认的.

3.2勾股定理的教育价值

《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》指出“数学课程应帮助学生了解数学在人类发展史中的作用”,“探索勾股定理及其逆定理,并会运用它们由直角三角形的已知两边求第三边、由三角形的三边的数量关系判断直角三角形,以及解决一些简单的实际问题.”《普通高中数学课程标准》在选修系列3的“数学史选讲”第1个专题“早期算术与几何—记数与测量”也提出了“中国《周髀算经》、勾股定理(赵爽的图)”.

因此在数学内容的学习过程中应该向学生介绍有关的数学背景知识.比如介绍欧几里得《原本》,使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值;介绍勾股定理的几个著名证法(如欧几里得证法,赵爽证法等)及其有关的一些著名问题,这对于激发学生学习数学的兴趣,丰富学生的数学学习活动,使学生受到数学文化的熏陶,都具有十分重要的教育意义.

在勾股定理这部分内容的教学中,应该适当安排课本内容之外的相关知识内容,如勾股定理的历史起源及背景,勾股定理的中西不同的证明方式,还可以通过解决古代勾股定理的实际应用问题及揭示古代数学家的独特的思维方式,这些可以对学生渗透爱国主义教育和德育、美育教育,培养学生的民族国家思维自豪感,培养学生的学习热情和积极性.

总之,初等教育的数学教师在课程教学中应该把古今中外的数学文化渗透到数学教学中,让学生认识到数学不是单调枯燥的数学符号,而是一种生动的,有血有肉有思想的人类文化活动.通过让学生在体验中西方文化差别意义下去学习数学,感受数学的美,同时学会学习数学,体会它的文化内涵.恩格斯有一句名言:“社会的需要比一百所大学更能推动科学技术的发展.”能够激发学生自主学习的主动性,促进学生探索数学,体会数学的严谨,思维的缜密,感受数学人严谨的专研态度和锲而不舍的探索精神,培养应用意识和创新意识,这才是教育的目的.培养学生对传统文化的继承和发扬的爱国情操,体会数学的美,同时也丰富了初等教育课程改革内容,使传统的数学教学远离枯燥,变得更加生动,更具有教育意义,文化内涵更加丰厚.

3.3勾股定理的应用价值

勾股定理在生活中的应用也较广泛,举例说明如下：

(1)挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸.以教室为例,最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积,从而计划好学生座位的多少和位置的安排.选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕,也就是说要把学生的视觉感受放在第一位.一般来说在选购时可参照三点：

第一,屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6;

第二,屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度;

第三,屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米.

屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的.一般视频图像的宽高比为4:3,教育幕为正方形.如一个72英寸的屏幕,根据勾股定理,很快就能得出屏幕的宽为1.5m,高为1.1m.

(2)2005年珠峰高度复测行动.测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法,就是把高程引到珠峰脚下,当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时,通过在峰顶竖立的测量觇标,运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程,配合水准测量、三角测量、导线测量等方式,获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算,最终得到珠峰高程的有效数据.

3结束语

本文分三部分研究了勾股定理：第一部分主要是探讨了勾股定理的起源;第二部分总结了勾股定理的方法;第三部分讨论了勾股定理价值,总结共有三类;主要讨论了勾股定理的应用、推广及影响.这说明教材内容正向“体现知识的发生和发展过程,促进学生的自主探索”和“渗透数学文化,体现人文精神”方向发展,数学教育的美好前景指日可待.

参考文献

[1]梁宗巨.数学历史典故.沈阳:辽宁教育出版社.1992.

[2]王青建.数学史简编.北京：科学出版社,2004,2-19,21-33,45-51,251-263.

[3]江陵张家山汉简整理小组 1 江陵张家山汉简《算数书》释文[J ] . 文物.2000,(9) ..

[4]梁宗巨,王青建,孙宏安.世界数学通史(下).沈阳:辽宁教育出版社,2001,159-223,256.

[5]郭书春.《算数书》的校勘[J ].中国科技史料.2001,(3) .