【案例背景】

《等比数列》是高中数学教学的内容之一,等比数列身为一类特别的函数,与函数思维密切相关,探究等比数列所需的恒等变化正是学生掌握数学所需要了解的基本技能,通过掌握等比数列可以训练学生综合应用的基本能力，也可以培养学生数学应用意识，因此在高中数学教学中，通过复习课的开展，让学生掌握等比数列的基本知识和基本方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，为学生今后高中阶段进一步学习奠定良好的基础。

学生情况：

学生们已经掌握了等比数列的通项公式定义、前n项和公式定义以及相关特性,并做过若干相关习题,只是对等比数列的理解还不体系、深入,做题中还会出现单纯模拟和套公式方法,对定义和特性还缺乏思考,对特性的使用也不熟悉。另外,作为高中学生已具备了必要的分析问题和解决复杂问题的基本能力,思维能力也初步建立,思维特征为活泼、灵敏,但不够冷静、深入,也缺乏严谨。

【案例过程】

一、教法与学法分析

为了突出重点、突破难点，本节课通过引入多种教育手段，如观察、分析、类比、归纳等，把学生放在首位，激励他们积极思考，把理论的概念变成实际的应用，从而提高他们的创新思维和实践技巧，并且培养他们的独立思考和解决问题的能力。为了成功完成此项任务，我们应该牢牢记住如下几点:

①举实例说明，找出其中的规律。让学生在问题情境中体验知识的生成与发展，努力培养学生运用类比思维来思考问题。②创设良好的课堂气氛，把握好师生之间的情感互动，做到“以学生为主体，以教师为为主导。③努力做到全面和及时的反馈。经过仔细设计的问题，激发学生的思考，教师根据他们的回答，进行适当的调整。④让学生有足够的时间和空间进行思考，不要急于将结果交给学生，而是让他们自己观察、分析、类比得出结论，然后由教师进行评价，培养他们科学、严谨的学习态度，从而培养他们的思维。⑤要把思想的启迪作为中心，要有空间，要引导，但不能束缚，也不能束缚。通过这种方式，可以让学生有更多的参与的机会，让他们更好地发挥自己的作用，让他们掌握更多的知识，还可以让他们更好地思考问题 ，使学生真正成为教学的主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。

二、教学程序设计

(4)等差中项: 如果a、A、b构成一个等差数列，那么A就是其余两个之间的等差项。

说明: 通过复习等差数列的基础知识，我们可以将其与本节课的内容进行对比，以便更好地理解难点

2、导入新课

在本章的引言中，我们讨论了如何在国际象棋棋盘上放置麦粒，并且我们发现每个格子的麦粒数量是：

1，2, 4, 8,….263

再来看两个数列:

5，25，125，625,

说明: 通过"观察、分析、归纳"，我们可以将等差数列的概念与等比数列的概念相比较，从而更好地理解它们的定义，并且提出以下问题：

如果某个数列是等比数列，请给出它的公比q。如果不是，请说明原因，并回答下列问题。

-1，-2，-4,-8...

-1,2,-4,8...

-1，-1，-1,-1...

1,0,1, 0...

提出问题:(1) 公比q是否可以为零？这是为何？首项a₁呢？

(2)公比q=1时是什么数列?

(3)q>0是递增数列吗?q<0递减吗?

说明: 在师生之间进行问答的过程中，可以将学生们学习的主动性和积极性完全激发起来，让课堂的气氛变得更加生动，与此同时，还可以对学生们的口头表达能力和临场应变能力进行提高。此外，还可以用一些有趣的问题，来激发学生们的学习兴趣。启发学生寻找等比例数列的定义和一般的项式。

3、尝试推导通项公式

通过回顾和探究，帮助学生掌握差数列的通项公式，并能够应用于解决等比数列的问题。

推导方法:叠乘法。

说明: 通过学习方法一，学生可以学会从特殊情况中推断出普遍规律，进而提高观察能力；此外，学生还可以通过回忆等差数列的特征，将其与等比数列进行对比，从而培养其类比思维和将新知识转化为已有知识的能力。方法二通过"叠乘"，我们可以帮助学生更好地理解"叠乘"的思路。

4、探索等比数列的图像

等差数列的图像可以被视为一系列独特的点，而等比数列则由一系列相互独立的点组成，从而形成一个复杂的图形，其中每一个点都有其独特的特征？

在变式2和等比数列{a_n}中，当a₂=2，a₉=32时，我们可以计算出q的值。

(学生自己动手解答。)

说明: 通过例题，我们希望学生能够更好地理解公式，并将其应用到实际中。此外，我们还希望学生能够掌握等比数列运算中常见的消元方法，即只需要知道a₁、g、n和a_n四个量，就能够计算出另一个。

6、探索等比数列的性质

透过对比等差数列的特征，我们得以探讨等比数列的本质，并从中得出结论。

7、性质应用

例3、在等比数列{anl中，a5=2，a10=10，求a15

(通过自主探索和实践，学生可以找到多种解决问题的方法。)

方法一:由题意列方程组解得

方法二:利用性质2

方法三:利用性质3

例4根据教材中的示范，我们可以得出结论：{a_n}和{b_n}都属于项数相同的等比数列，其中{a_n· b_n}的是等比数列。

8、小结

为了帮助学生更好地理解所学知识，教师应该采取适当的教学方法，让学生在熟悉的情境中理解知识。可以采用小组合作学习的方式，让学生围绕本节课的学习内容进行交流，这样可以调动学生的积极性，培养学生的合作意识。此外还可以将教学内容进行整合，设计一些小问题来提高学生解决问题的能力。教师通过启发引导，帮助学生理解、掌握本节课所学知识。

通过以上设计，可以让学生掌握等比数列的基本概念和性质。同时也能够使他们了解等比数列中各部分之间的联系与区别，掌握等比数列的性质和应用。教师还可以引导学生对知识进行梳理和归纳，提高他们知识联系的能力，从而使他们更好地理解知识要点，提高学习效率。

【案例分析】

本次案例改变了往常先回顾知识点再进行例题讲解的惯例，而是首先让同学们通过对于高考真题的练习来自己进行知识点的回顾，自己弄懂的地方便进行自我吸收，尽可能地将题做出来。不懂的地方在同学们做完题之后根据题目涉及到的知识点再进行系统复习和讲解，这样同学们就可以很清楚地了解自己哪些地方已经掌握，哪些地方还有待加强。

在知识点讲解完毕后再趁热打铁，将例题进行强化，这样就可以很清楚地发现自己哪些地方掌握得还不够好，然后再进行针对性的复习。这一环节就是我们平常所说的查漏补缺，通过在复习过程中发现问题、解决问题，从而提高自己的解题能力，在考场上才能从容应对。

【案例评价】

1.在教学设计上,课堂教学反映了"以人为本"的思路,能够充分调动学生的主体作用。在充分考虑每个学生的知识的情况下,通过设计问题,合理安排课堂教学,凸显了重点,突破了难点,让每个学生加强对知识点的掌握,从而提高创新能力,实现预期的教学目标。同时,课堂教学上还凸现了老师的主导作用。老师以探索问题来指导学生的练习与领悟,从而创造了学生自由合作探索的舞台,营造了学生思维自主驰骋的空间。在培养学生经历知识探索的学习过程中,老师训练了学生进行探索、合作、总结的能力,从而充分调动了学生强烈内驱动力,提高了学生对学好数学的自信度,让学生逐渐形成喜欢数学的强烈兴趣,并感受到了获得成功的喜悦。

2.在教学中,反映了知识点的形成步骤。老师们通过给学生创造"做中学"的空间,把握每一次快速发展学生智慧的契机,让每个学生在"做"的学习中,运用现有的科学知识与方式,主动的探求出新东西,从而拓宽认知结构,进一步发展能力,健全性格,进而将课堂经验真正地贯彻在学生的能力发挥上。

3.苏霍姆林斯基曾说:"老师不但要作为教育者,而且要作为学生的朋友。"这也表明,在教学中创造一种民主平等的师生关系,和安静舒适的教研氛围对学习者的身心发展发生着重要的意义。本节课程真正实现了教学氛围的良好、与同学交互良好。这样,学生们才会很好的协助老师乐做、善作,从而实现课堂教学效率的最大值。

4.老师的授课基本功很坚实。这节课的教育设计思路清晰、节奏感强烈,教师的教学语言表达力极强,肢体语言丰富,擅长充分调动学生的学习热情,善于引导学生进行反思并表述自己的看法,课堂驾驭能力极强。

5.诚然,课堂是一种充满缺陷的教学艺术,每一堂课都不能完善尽美。但课堂教学中也出现了考虑不周,知识点扩展的长度不足的问题。所以仁者见仁,智者见智,如果一节课不可以处理一切问题,那也并不现实,因为只要有一个中心问题就可以了,而本节课正好抓住一个点就足矣。人常言道不是最好也只是更好,力求尽善尽美才是恒久不变的选择。

【案例反思】

首先,本节课程重点复习等比数列的基础概念、等比数列的通项公式及其前n项和公式,一些相关的基础特性和等比数列的前n项和及最值问题.例题中选取典型,特别重视等比数列的主要知识点及其处理有关实际问题时的一般思路和方法,进行讲练紧密结合,将分析和解决、独立思考和协作交往等内容有机融合在一起,从而使课程和谐有序地进行下去。在教学进程中,学习者的基础知识结构被确立,数学教育思维方式被激发,创新意识被激发,教学落实得较好。最后,在作业的布置上,选用了高考试卷中的低档题目,对学生掌握、巩固知识点可以发挥良好的效果.但因为学生们对于运用二次函数求最值的实际问题了解的不熟悉,所以对于在等比数列的前n项和最值实际问题中运用二次函数的性质,这个方式还要求学生课下不断下功夫积累。

其次在进行高中数学复习课教学时，可以从以下方面入手：

1.围绕复习目标．

复习目标是复习课的指挥棒,起着引导、启发、调整与评估学生的功能。围绕复习工作目标,开展复习工作要从如下两个方面着手:首先,复习工作目标要紧扣课程标准,既要顾及具体到的阶段目标,也要顾及每一章节教学内容的具体目标。紧扣教材就要从课程的整体考虑,按知识点系统或按篇章单元,把握重点和难点,并综合考虑复习目标,使学习者能够初步地对知识点的整体内涵加以掌握,进而对重点和难点的基础知识内涵加以巩固和扩展,从而全面、多角度地了解重点和难点相关知识内涵,以求解题时不致出现较大的障碍。第二,立足于学生实际,因人而异的开展复习。学生教育实际是对学生的基本知识与能力要掌握,对学生的求知心理特点要了解,既要研究学生的群体心理,也要探究学生的个人。特别是对基础好的与基础不好的学生要有差异的目标需求,要因材施教,让学生们各有所得。在实际教学中,就每节课的目标而言有侧重点,但不能平均利用时间与精力,要有规划地把教学的复习工作主要目标与重点定在学生认识、能力、情感上的某一方面,以便提高学生综合素质的更好发挥。

2.夯实基础，知识与能力并重

不管何种类别的考试,基本都是最关键的。越是基本的知识点就越具有决定性含义,越基本的知识点也就越具有区别度,因而锻炼才能、加强素养都离不开对基本的理解与记忆。所以,高中数学复习切实地注意基本。此处的基本并非指为了考试机械反复地练习,乃是指要弄清基本原理、基本方法,并体会基础知识生成过程及其中对知识实质含义的认识和体会。同时需要对知识内容加以全面总结,从而建立自己的基本认识系统。在这一过程中,教师们必须要注重学生的主体地位,通过指导学生形成认知网络,深刻领会高中数学的基本内涵、含义与方式,通过认真总结、概括、探究、汇总、提炼基本知识点,把握基本规律、灵活运用,让数学成为培育科学精神、把握科学技术方法的最高效的开发工具。