引言：

新时代教育强调教师应当将教学重点放在对学生解题思维的培养上，要向学生详细分析解题思路、解题技巧，来培养学生灵活的解题思维，而不能让学生通过题海战术里获得固化的解题经验，杜绝机械性、重复性习题。逆向思维解题就是其中之一，很多习题在正向思维推理是比较困难，但是运用逆向思维推理则可以很轻巧地解答。

一、学生解题逆向思维培养的重要价值

（一）有利于提升学生的解题能力

在解题教学中，教师向学生传输逆向思维，最直观的表现就是能够提升学生的习题解答能力，学生的解题思路更透彻，可以从逆向角度进行推演，也可进行反推验算等，都是学生数学应用与解题能力提升的表现。学生解题能力的提高，也将持续提升他们的学习自信心，促使他们深度融入到数学学习中^[1]。

（二）有利于拓展学生的思维能力

培养学生解题逆向思维，除了增加学生的解题能力之外，还有利于拓展学生的思维能力，学生对问题的剖析角度也将更加多样，能够从问题的对立面去进行反推，即能够从条件正向推理到结果，也能够从结果推演过程，让学生可以从逆向的思维路径去研究一个数学问题。逆向思维是一种打破常规的思维能力，是一种创新型的思维过程，这将大大拓展学生的思维能力，让学生终身受益^[2]。

（三）有利于加深学生的数学认识

数学知识模型虽然是抽象的，是一个个数学符号，但是数学知识模型却是存在本质内涵与特征的，是有标准的，是有规律的，初中数学教学就是为了促使学生更好的理解数学抽象，梳理知识模型结构。而在习题解答教学中，虽然习题千变万化，一些习题看似非常难解，但习题演练的目的并不是为了为难学生，而是锻炼学生对数学知识模型的认识以及对数字的敏感，因而，一些情况下，充分利用逆向思维进行解题，能够促使学生加强对数学知识模型的认识^[3]。

二、初中数学解题教学中逆向思维的应用

（一）逆向应用公式定理进行解答

案例1：计算的结果

分析：观察此题的类型，和分式的减法法则很相似 =，因此，可以逆向运用公式定理，对题干中的信息进行分解简化，再进行简便运算。

解答：

=（1）+（）+（）+（）+……+（）+（）

=

=

（二）逆向思维进行代数求值

案例2：已知x-y=2，=1，求x²y-xy²的值

分析：一般而言，从根据题干中关于x、y两个变量的两个关系式，联立进行消元计算即可求出x与y的值，但本题计算起来会比较困难，不妨采用逆向解题思路，先对x²y-xy²进行初步分解，观察其是否有简便计算方法，如有，则运用简便计算即可，如无，则返回进行正向计算。

解答：x²y-xy²=xy（x-y）

已知x-y=2，只需求得xy的值即可

又∵ =1，对其去分母， =  （xy）=y-x=xy

∴xy=y-x=-（x-y）=-2

∴x2y-xy2=xy（x-y）=-22=-4

案例3：已知m-n=1，求m²-2n-n²=？

分析：与案例2同理，出现m、n两个变量的一个关系式，则可将其中一个变量用另一个变量来表示，正向推理带入到习题解答中即可，但是也可用逆行思维来进行解答，观察到结尾式子，发现它与平方差公式的基本形式非常相像，因此可以想尝试对结尾m²-2n-n²的式子进行分解、观察，观察其是否有简便的计算方法，如有则进行简便计算，如无则返回进行正向计算。

解答：m²-2n-n²=（m+n）（m-n）-2n

∵m-n=1

∴（m+n）（m-n）-2n=（m+n）-2n=m-n=1

（三）逆向思维进行幂运算

案例4：已:2^a=3，3^b=2，求的值等于多少？

解析：运用逆向思维进行幂运算，和上述案例2与案例3代数求值的本质都是一样的，都需要从结尾的式子来入手，而不是一开始就从条件进行解析。并且相较于代数运算，幂运算更需要的正向直接计算难度非常大，更需要巧妙运用逆行思维进行解答才行。在解答时，对本题结尾的式子先进行分解，再去寻找未知或需求的项，再根据条件进行验算。

解答： =  =

∵2^a=3

∴（2^a）^b=2^ab=3^b=2

∴ab=1

∴ =  =  =1

案例5：已知2^a=5，2^b=10，2^c=80，求2019a-4039b+2020c的值是多少？

解析：当得知题干中出现2^a=5，2^b=10，2^c=80，它们的底数都是2，即为同底数幂运算，幂运算法则为:同底数幂相乘,底数不变,指数相加；同底数幂相除，底数不变,指数相加，可便于得到a、b、c之间的关系式。明确了这一概念之后，再从结尾的算式入手，发现2019、4039、2020这是三个数字有明确的关系，因此可以尝试着对结尾2019a-4039b+2020c式子进行拆解后观察是否可简便运算。

解答：2019a-4039b+2020c

=2019a-2019b-2020b+2020c

=2019（a-b）+2020（c-b）

∵2^a÷2^b=2^a-b=5÷10=0.5=2^-1

∴a-b=-1

同理∵2^c÷2^b=2^c-b=80÷10=8=2³

∴=c-b=3

∴2019a-4039b+2020c=2019（a-b）+2020（c-b）

=2019×-1+2020×3=4041

（四）逆向思维解答几何问题

案例6：如下图1所示，已知AB与EC平行，长方形底为10厘米，高为8厘米，那么求阴影部分面积是多少？

图3.

解析：运用逆向思维进行推演，从结尾去推导条件。即①△OBC和△OAE“好似”有一定关系，如果△OBC和△OAE面积一样，则阴影面积为长方形面积的一半。②要求证△OBC和△OAE一样，可通过梯形蝴蝶定理（任意一个梯形的两条对角线把梯形分成四个三角形，左右三角形和上下三角形面积相等）来证明。③首先要明确四边形AECB为梯形即可。按照这一逆向的思维路径，再从正向展开推理即可。

解答：∵AB与EC平行

∴四边形AECB为梯形

∵梯形AECB中，AC和BE为对角线

∴根据梯形蝴蝶定理可得S△OBC=S△OAE

∴S△EBC=S△EOC+S△BOC=S△EOC+S△OAE=S△AEC

∴S△AEC=10×8÷2=40cm²

（五）逆向思维进行换元计算

案例7：证明不等式+7＜8

解析：对本式子来说，即可假设原不等式+7＜8，即+7-8＜0，对此进行计算或证明即可。同时观察到原式子非常繁杂，但都是以为基底的变形，那么就考虑围绕进行换元，只需要证明换元后的不等式成立，即可证得原不等式成立。

解答：设为a，则原不等式转化为a²+7＜8a

    假设不等式+7＜8成立，则a²+7-8a＜0

    因式分解得到（a-1）（a-7）＜0

即1＜a＜7时，征得+7＜8成立

而必然存在1＜＜7，所以+7＜8成立

（六）逆向思维进行反向证明

案例8：已知a+b+c=1，a² +b²+c²＞1，求证a、b、c至少有一个是负数。

解析：对于证明题或者求解题，正向证明或求解不顺利，则可运用逆向思维，运用反证法，对某一个因素作为变量进行分析,假设它与事例中的状态相反,再去顺着便于计算的方向去进行求解或证明，如果求解不出或求解与原条件不符，或证明所需条件与原条件发生矛盾，则可证明假设出错^[4]。对本题来说，可先假设方程a、b、c不存在有一个是负数，再一步步去进行拆解运算，最后判断或证明即可。

解答：假设：a、b、c不存在有一个是负数

即a、b、c≥0

∵a+b+c=1

∴（a+b+c）²=1

（a+b+c）²=a² +b²+c²+2ab+2ac+2bc=1

∵假设a、b、c≥0，则必然存在2ab+2ac+2bc≥0

∴必然存在a² +b²+c²≤1

与题干中a² +b²+c²＞1矛盾

∴a、b、c至少有一个是负数

三、结束语

通过逆向思维，可以助力学生站在另一个角度去观察和理解数学模型，从而对数学概念产生更加深刻和全面的认识，将大大提升学生的解题能力，同时培养学生的思维能力，意义重大。

参考文献

[1]薛艳.打破定势不走寻常路——例谈“逆向思维”在初中数学解题教学中的应用[J].读写算,2023,(33):36-37+91.

[2]郑健煌.初中数学解题教学中逆向思维的应用探讨[J].数理天地(初中版),2023,(01):57-59.

[3]谢欣宇.探讨初中数学解题中逆向思维的应用[J].理科考试研究,2022,29(12):11-13.

[4]梁玲.初中数学解题中逆向思维的应用[J].数理天地(初中版),2022,(16):51-52.