中图分类号：G633.6                                    文献标志码：A

1 引言

高等数学在理工科教育中扮演着关键的基础角色，其内容丰富且涵盖微积分、常微分方程、解析几何等多个方面。其中，函数极限概念至关重要，它不仅是学习微积分的基础，还关系到学生对函数连续性、导数及定积分的理解。然而，函数极限的高度抽象性使得传统教学中容易出现单一、枯燥的讲解方式，导致学生难以深入理解，尤其是数学基础薄弱的学生更是如此。为了解决这一教学难点，GeoGebra作为一款集图形绘制、计算及动画展示于一体的免费数学软件，为极限教学提供了新的工具支持。通过GeoGebra动态展示函数变化过程，学生能直观地观察到极限过程的动态性，从而加深理解。同时，GeoGebra还通过互动功能激发学生的兴趣和参与度，支持个性化的学习需求。本研究旨在探讨GeoGebra在函数极限教学中的具体应用方法及其教学效果，以期为高等数学教学创新提供参考。

2传统函数极限教学存在的问题

极限是高等数学中的基本概念，与函数的连续性、导数概念和定积分概念等内容密切相关。函数极限包括和两种类型，其定义包括描述性定义和语言定义两种方式。以函数极限为例，其描述性定义为：如果当自变量无限接近于某一常数时，函数无限接近于一个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记作。语言定义为：对于函数，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当时，都成立，则称常数为函数当时的极限，记作。无论是函数的描述性定义还是语言定义，都具有高度的抽象性，学生很难从定义中领会函数极限的本质特征。

传统教学中，函数极限概念通常通过讲授配合静态图形和文字来帮助学生理解。然而，这种方式难以展示极限的动态过程，特别是对数学基础较弱、想象力和思维能力不足的学生，往往效果不佳。此外，缺乏互动性和趣味性的课堂形式也难以激发学生的学习兴趣。在教学中，教师多为传授者，学生被动接受极限的定义、性质和计算方法，缺乏主动参与感，这导致学生在遇到函数极限问题时容易出现理解偏差或迁移困难，进一步影响其学习效果。

3 GeoGebra 的功能特点和优势

GeoGebra是一款强大的动态数学软件，集图形绘制、计算和动画功能于一体，为高等数学教学提供了多维度的支持。首先，GeoGebra的图形功能可以精确绘制各种函数图形，从简单的三角函数到复杂的复合函数皆能呈现，同时还允许实时调整参数，帮助学生直观理解函数的变化趋势。通过动态显示，学生可以观察到函数值在接近某一特定点时的变化过程，使抽象的极限概念更加直观，特别有助于逻辑和想象力薄弱的学生理解复杂的数学思想。其次，GeoGebra的计算功能涵盖极限、导数和积分等运算，能够有效支持学生练习和验证函数极限的计算。这种即时反馈不仅提升了学习效率，也帮助学生通过反复练习加深对极限性质的理解。此外，GeoGebra的动画功能能动态展示函数值随变量变化的过程，让学生更易理解极限的渐近性，从而有效弥补传统静态教学的不足。GeoGebra还提供了互动学习的平台，学生可以自主操作软件，探索极限的不同应用情境。例如，通过参数调整和视角变换，学生能够观察到不同条件下的函数变化，增强了学习的趣味性和探索欲望。此过程不仅培养了学生的动手实践能力，也激发了其自主学习的积极性，帮助他们在知识构建中获得成就感。GeoGebra在函数极限教学中的优势显著：通过直观、互动的体验，学生不仅能更好地理解极限概念，还能提升解决问题和知识迁移的能力，从而为高等数学学习奠定坚实的基础。

4 GeoGebra辅助函数极限教学的内容

著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”其深刻地反映了数与形之间的辩证关系。在函数极限的教学过程中，应充分利用数形结合的方式开展教学设计，促使学生对极限概念和性质的理解掌握。极限本质是用动态的观点来揭示函数值的变化规律，GeoGebra的动画功能正好可以契合动态演示的需求。

4.1 GeoGebra辅助函数极限概念讲解

函数极限概念是高等数学中最基本、最重要的概念之一，对函数极限概念的认识水平，直接关系到学生对后续知识的掌握程度，比如说函数连续性、导数的定义、定积分的概念等等都需要用到极限的思想。

在实际教学过程中，首先可以通过实际问题先引入函数极限的概念，例如：当高铁通向一座长度为1km的长桥时，所用的时间与速度成反比例函数关系，速度越大，所用的时间将越小，如果速度无限变大，时间将会如何变化呢？通过实际问题触发学生的思考。

其次，充分利用数学结合的思想，从函数图形的变化和函数值的变化两个方面揭示函数极限的本质，从而加深学生对函数极限概念的理解。一方面，可以利用 GeoGebra 绘制函数图像，并通过动画功能展示函数值的变化过程。具体来讲，在讲解函数极限的概念时，可以利用 GeoGebra 绘制函数图像，并通过动画功能展示函数在某一点处的变化过程。例如在前面的引例中，函数在速度无限变大（）时，探讨时间的变化趋势，可以利用 GeoGebra 绘制函数图像，在指令栏中输入：f(x) = 1 / x，绘制函数图形；输入A=point(f)，在函数图形上取一个动点A；输入Segment(A, (x(A), 0))，绘制出动点A在轴上的投影；输入Segment(A, (0, y(A)))，绘制出动点A在轴上的投影（如下图1所示）。在图形区用鼠标右键点击动点A，选择“Animation on”按钮，即可开始动态演示。通过图形的动态演示，学生可以清晰的看到随着自变量不断增大，函数值逐渐减小并趋近与0.

图1 函数图形       

另一方面，也可以同时在 GeoGebra 中辅助以表格形式来演示函数值的动态变化，从而揭示函数极限的内涵。在指令栏中输入：l1=Sequence(10^n, n, 0, 6)，得到列表l1；l2=Sequence(1/10^n, n, 0, 6)，得到列表l2；l3=Append(Append(x, Append(l1, "...")), "→∞")，得到列表l3；l4=Append(Append(f(x) = 1 / x, Append(l2, "...")), "→0")，得到列表l4；TableText(l3, l4, "|_c")，得到如下表1所示的表格。通过表格中函数值的变化趋势，学生可以清晰的看到随着自变量无限增大，函数值无限减小并趋近与0.

表1 函数函数值变化

通过以上步骤演示后，组织学生进行小组讨论，引导学生得出函数极限的概念，教师再进一步对学生讨论的结果进行总结和归纳，从而得到完整的函数极限概念。示例中利用GeoGebra 软件的动态图形演示功能，学生可以直观地感受函数极限的概念，加深了对函数极限的理解。

4.2 GeoGebra辅助极限计算讲解

函数极限计算是极限部分的重要内容，需要学生重点掌握常见的一些求极限的方法。在教学过程中，可以用 GeoGebra 进行辅助教学，提高学生学习效率，培养学生动手实践能力。

在具体的教学过程中，教师可以先对函数极限的概念和性质进行复习，为学生学习函数极限的计算内容做好铺垫。然后根据不同极限计算的类型，合理选择教学方法。例如：在介绍类型极限时，如果点在函数的定义域内，可通过观察函数图像的变化，引导学生总结归纳出此类极限的求解方法。比如对于一个简单的函数，在 Geogebra 中绘制出图形后，可以直观地看到当时，函数值的变化趋势。Geogebra 具体操作步骤为：在指令栏中输入f(x) = x^2 + 2x，得到函数的图形；输入A = (1, 3)，得到函数图形上的定点A；输入P=Point(f)，得到函数图形上的动点P；输入l1={A, P}，构造点集合；输入Sequence(Segment(l1(i), (x(l1(i)), 0)), i, 1, 2)，将点A和点P分别投影到轴；输入Sequence(Segment(l1(i), (0, y(l1(i)))), i, 1, 2)，将点A和点P分别投影到轴。通过以上步骤，可以得到如图2所示的图形。在教学过程中，教师可以让学生动手拖动点P，并观察对应函数值的变化趋势。在这一过程中，学生很容易看到当时，函数值。

图2 函数图形

在讲解多项式函数比的极限时，可以利用 GeoGebra 进行函数极限计算结果的演示，从而促进学生进行归纳总结。 GeoGebra 中有专门的指令可以求解函数极限值，具体指令为Limit( <Function>, <Value> )，其中<Function>表示求极限的函数，<Value> 表示求极限的点。在讲解多项式函数比的极限时，可以在 GeoGebra 中设置滑动条，让学生动手操作，比较和在不同大小关系下极限的求解结果，进而进行归纳总结，得到极限的正确计算方法。操作步骤在指令栏中输入：n=slider(1,10,1)，设置滑动条n；m=slider(1,10,1)，设置滑动条m；l1=Sequence(n - i + 1, i, 1, n)，构造分子多项式次数序列；l2=Sequence(m - i + 1, i, 1, m)，构造分母多项式次数序列；l3=RandomBetween(0, 100, n)，随机构造分子多项式系数序列；l4=RandomBetween(0, 100, m)，随机构造分母多项式系数序列；f(x)=Sum(l3(i) x^l1(i), i, 1, n)，构造分子多项式函数；g(x)=Sum(l4(i) x^l2(i), i, 1, m)，构造分母多项式函数；a=Limit(f(x) / g(x), ∞)，求出极限值。最后，点击“text”选择文本输入后，选择“LaTeX formula”，输入\lim_{x \to \infty }\frac{f}{g}=a（其中，f,g,a以对象形式输入），则可得到随机生成的多项式函数比的极限，见下图3.

图3 随机生成的多项式函数比极限值

在教学过程中，可以让学生动手拖动滑动条n和m，改变最高次的系数，让学生观察n和m在不同的大小关系下，极限的求解结果，从而得到这类极限值的规律。通过这些过程，学生主动参与到教学过程中，既可以培养学生应用数学软件解决问题的习惯，也可以提高学生的数学实践能力。

4.3 GeoGebra辅助极限性质讲解

函数极限性质的学习也是极限部分的重要内容，通过其学习可以深化学生对极限内涵的理解。在讲解极限的性质时，可以利用 GeoGebra 制作动画，展示函数极限性质的几何意义。例如，在讲解函数极限“两边夹”法则时，可以利用 GeoGebra 制作动画，演示当 （或）时，各个函数值的变化情况。通过动画演示，学生可以直观地感受函数极限“两边夹”法则的含义，加深对极限性质的认识和理解。例如，在讲解第一个重要极限时，通常会用“两边夹”法则证明，证明过程中使用的不等式是。可以使用GeoGebra画出函数图形，并通过动画演示时函数值的变化。具体操作为：在指令栏中输入f(x) = cos(x)，画出函数图形；输入g(x) = sin(x) / x，画出函数图形；输入h(x) = 1，画出函数图形；输入A=Point(g)，在函数上取动点A；输入(x(A), 1)，在函数图形上取与A点横坐标相同的动点B；输入(x(A), cos(x(A)))，在函数图形上取与A点横坐标相同的动点C；输入l1={A, B, C}，将A、B、C三点构成点集；输入Sequence(Segment(l1(i), (x(A), 0)), i, 1, 3)，将A、B、C三点投影到轴；输入Sequence(Segment(l1(i), (0, y(l1(i)))), i, 1, 3)将A、B、C三点投影到轴。所得图形如下图4所示。

图4 第一个重要极限函数图形

在教学过程中，教师拖动动点A，学生可以清晰地看到，在的过程中，由于A点夹在B、C两点之间，并且动点B、C的极限都趋近于1，从而导致A点的极限也必然趋近于1。通过这样的方式，可以加深学生对极限“两边夹”法则的认识和理解。

5 结语

随着信息技术的快速发展，GeoGebra作为一款功能强大的动态数学软件，在高等数学教学中展现出巨大潜力。其图形绘制、动态演示和计算功能，不仅为教师提供了丰富的教学工具，也为学生搭建了自主学习和探索的实践平台。通过GeoGebra的直观展示，学生能更清晰地理解抽象的数学概念，特别是在函数极限教学中，动态演示有效突破了传统教学的静态局限，使学生能够直观感受极限的渐近性和变化规律。GeoGebra还大大增强了课堂的互动性，学生通过自主操作和小组合作，不仅提升了学习兴趣，也促进了团队协作能力和探索精神的培养。

GeoGebra为高等数学教学带来了新的思路和方法，它的应用有效提升了教学效率和学生的学习效果，为进一步实现数学教育的信息化和个性化提供了重要支持。然而，GeoGebra并非完全替代传统教学方法，而是通过与其结合，更好地服务于教学目标。未来，随着软件的不断优化与信息技术的进一步融合，GeoGebra在数学教育中将具有更加广阔的应用前景，为教学创新提供更多可能性，助力学生深度学习和综合素质的提升。

参考文献：

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