黑洞的范德瓦耳斯式相变行为研究
摘要
关键词
黑洞；相变；临界行为
正文
一、引言
范德瓦耳斯流体模型[1]常被人们用于研究实际流体的性质，它是对理想流体模型的修正，在理想流体的基础上考虑了流体分子自身的体积与分子之间的相互作用。人们往往采用下面的关系描述流体的行为特性。
（1）
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式中、分别表示流体内部的压强和温度，为流体的比体积，修正项a和b是分别考虑流体分子体积与分子间的相互作用力而引入的参数。范德瓦耳斯流体的演化行为可从图1读取出来。
图1 范德瓦耳斯流体的P-V相图
黑洞[2]是一个极其致密的时空区域。经典理论的观点认为黑洞具有相当强的引力场以致于任何粒子或电磁辐射（例如光）都无法逃逸出来，如同一个“大黑窟窿”。黑洞的热力学性质一直是黑洞物理领域广泛研究的重要课题，近些年人们对黑洞的相变过程持续关注，并吸引了越来越多学者的注意。在对黑洞的相变行为进行分析的过程中发现，黑洞在相变点附近的临界行为类似于范德瓦耳斯流体。本文对反德西特时空中含整体单极黑洞进行讨论，详细描述黑洞的范德瓦耳斯式相变行为。
二、AdS黑洞的范德瓦耳斯行为
渐近反德西特（简写为 AdS）黑洞是含有宇宙学项的爱因斯坦场方程[3]
（2）
的一个解，式中为物质场的能动张量。对于任意维时空，宇宙学常数可被AdS半径参数化
（3）
对于AdS黑洞，在扩展相空间讨论其相变过程时，人们往往借助加拿大物理学家罗伯特.曼团队提出的物理思想[4]，将宇宙学常数看作是热力学变量
（4）
其共轭量则被视为热力学体积。
近些年，受规范/引力对偶迅速发展的推动，对渐近AdS时空中黑洞的相变行为的研究引起越来越多学者的兴趣。其中一个重要原因在于，通过对规范/引力对偶的研究人们发现，反德西特空间中的黑洞与量子场论息息相关。而这些黑洞解在一定的温度下与强耦合的大N规范是全息对偶的。
考虑含整体单极的带电AdS黑洞，相应的度规线元和电磁势可写为
（5）
（6）
其中是与对称破缺相关的参数。特别地，如果令参数，此黑洞解将退化为标准的RN-AdS黑洞[4]情形。下面我们将在线元（5-6）的基础上对含整体单极的带电AdS黑洞的演化行为展开讨论。
首先对黑洞的热力学量进行求解。根据相关定义，可求得黑洞的电荷Q与电势，分别为
， （7）
式中表示黑洞的视界半径，由方程的最大根确定。黑洞质量可以通过科马尔积分确定
（8）
温度T可借助表面引力定义，求得
（9）
黑洞熵的表达式为
（10）
考虑罗伯特.曼的定义，压强和体积分别为
(11)
(12)
经证实，黑洞对应的这些热力学量是满足扩展相空间中的热力学第一定律，即
（13）
为了进一步分析黑洞的相变行为，有必要写出描述黑洞行为的状态方程。考虑电荷量Q固定的正则系综情形，结合方程（15）与压强定义（17），黑洞对应的状态方程可表示为
（14）
式中是关于热力学体积的函数。为了更物理地阐释黑洞系统的相关性质，可借助量纲分析将几何的方程（14）改写为物理的状态方程。因此，黑洞系统的物态方程为
（15）
作出随变化的曲线，如下图2所示。很明显，从P-相图看，AdS黑洞具有类似于范德瓦耳斯流体的演化行为，且相应地存在小黑洞与大黑洞之间的小黑洞-大黑洞相变。
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图2 AdS黑洞的P-相图
黑洞相变过程中的临界点可由物态方程与下面的方程推导得到
（16）
从而临界点的表达式为
（17）
进一步计算发现，临界系数满足关系
（18）
不难发现，类似于范德瓦耳斯流体相变过程，黑洞呈现出范德瓦耳斯式行为特性。
三、结束语
本文通过对AdS时空中含整体单极黑洞的相变过程进行分析，进一步证实黑洞的相变行为与熟知的范德瓦耳斯流体情形具有相似性。启发人们可将黑洞系统与范德瓦耳斯流体系统进行类比研究，以便于更深入直观地理解神秘黑洞的更多有趣的性质。引力与流体之间的类比可进一步推广到更高维时空与更多理论框架情形。
参考文献：
[1]朗道，栗弗席兹. 统计物理学[M]. 第五版. 北京：高等教育出版社，2011.
[2]刘辽，赵峥. 广义相对论[M]. 第二版. 北京：高等教育出版社，2004.
[3]梁灿彬. 微分几何与广义相对论[M]. 北京：科学出版社，2006.
[4]D. Kubiznak, R. B. Mann. P-V Criticality of Charged AdS Black Holes, JHEP 1207, 033 (2012).
基金项目：四川省自然科学基金（项目编号：2022NSFSC1806）与西华师范大学基本科研业务项目（项目编号：22kA005）资助。
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