一、引言

近年来，高维时空中黑洞^[1]的研究吸引了越来越多学者的关注，成为理论物理学界的一大热门课题。随着弦理论、膜理论以及超引力理论的发展，人们逐渐认识到多维时空在理解时空结构、引力本质以及基本粒子相互作用中发挥着重要作用。高维时空维度，尤其是五维时空中的黑洞解^[2]在超引力理论和弦理论框架下具有重要意义。在高维时空下，传统的黑洞解，例如史瓦西黑洞、克尔黑洞和克尔-纽曼黑洞，需要进行推广。特别是当时空维度超过四维时，黑洞的旋转自由度显著增加，使得解的复杂性和多样性明显提升。

本文对五维时空中转动带电黑洞解的构造和求解进行简单概述。以五维时空中爱因斯坦-麦克斯韦理论框架下的克尔-纽曼黑洞的精确解为例进行说明。克尔-纽曼黑洞是一个经典的带电旋转黑洞解。在四维时空中，黑洞解同时满足爱因斯坦场方程和麦克斯韦场方程^[3]。通过推广至五维时空，引入额外的角动量自由度，研究更加复杂的旋转黑洞。本文将聚焦于五维时空中的克尔-纽曼黑洞，构造出该黑洞的精确解。特别地，本文尝试探讨两个角动量相等的等转动带电黑洞解的构造，给出最终的度规表达式。

二、五维时空中的转动带电黑洞解

在广义相对论框架下，爱因斯坦场方程描述了时空曲率与物质能量之间的关系^[4]。在引入电磁场后，爱因斯坦-麦克斯韦理论将经典的电磁场与广义相对论相结合。对于五维时空，爱因斯坦-麦克斯韦理论背景下的作用量^[5]可表示为

    (1)

其中，为五维时空的标量曲率，是电磁场张量，为电磁势矢量，表示度规行列式。通过对作用量进行变分，可以得到爱因斯坦方程和麦克斯韦方程，它们分别描述引力场和电磁场的行为

       （2）

                      （3）

其中为Ricci张量，为能量-动量张量，由电磁场张量定义，即

             （4）

在五维时空中，为推导出转动带电黑洞解，可以将克尔-纽曼黑洞的度规进行推广。假设爱因斯坦-麦克斯韦理论中的转动带电黑洞的度规方案如下，即

（5）

其中，为描述径向结构的待定函数，和是与角动量相关的交叉项。考虑等转动情形，即。此外，由于时空的对称性，可以令与具有相同的形式。于是，度规形式可以简化为

  （6）
其中，描述旋转项的待定函数。和是与黑洞质量、电荷及旋转参数相关的待定函数。为此，构造五维等转动带电黑洞解的关键便是通过爱因斯坦方程和麦克斯韦方程求解待定函数和。
    为了推导函数函数和，我们从爱因斯坦方程（2）出发，首先计算Ricci张量和标量曲率，然后结合能量-动量张量，推导出函数和满足的微分方程。
     首先计算度规对应的克里斯托费尔符号
                             （7）
考虑度规假设（6），可以写出克里斯托费尔符号的非零分量
       ，， ，     （8）
         ，              （9）
其中，表示对于的一阶导数，表示对于的一阶导数。 
    Ricci张量是通过克里斯托费尔符号定义的，具体为
                       （10）

于是可写出以下非零的Ricci张量分量，如径向分量
                                  （11）
角向分量  
                                              （12）
                    （13）
                   （14）

时间分量

              （15）
而标量曲率的表达式可以通过对每个分量进行求和得到，即

                 （16）

根据能量-动量张量的定义，张量的非零分量为

，    ，             （17）

代入到爱因斯坦场方程，得到两个主要的微分方程

                     (18)
                     (19)

而由麦克斯韦方程得到电磁势的微分方程

                                        （20）

   求解上述微分方程，即可得到待定函数，即

               （21）

，              （22）
最终，通过在给出的度规线元基础上计算对应的Ricci张量，并与电磁场张

量对应的能量-动量张量进行比较，不难验证黑洞解是满足爱因斯坦场方程的，即黑洞解有效。

三、结束语

本文对五维转动带电黑洞解的构造与求解进行了梳理，特别地，以五维时空中等转动带电黑洞为例，详细推导给出了黑洞的精确解。并对黑洞解的有效性进行了验证，证实其是满足爱因斯坦场场方程的。这也进一步说明了在五维时空中，带电转动黑洞的几何结构和电磁场之间的相互作用完全符合广义相对论与经典电动力学的联合理论。深化引力与时空的认识的同时，本文也可为黑洞精确解的求解提供参考。

参考文献：

[1]刘辽，赵峥. 广义相对论[M]. 第二版. 北京：高等教育出版社，2004.

[2]B. Carter. Axisymmetric black hole has only two degrees of freedom, Phys. Rev. Lett., 26, 331(1971).

[3]王永久. 黑洞物理学[M].  长沙：湖南师范大学出版社，2005.

[4]钱德拉塞卡. 黑洞的数学理论[M].  北京：高等教育出版社，2018.

[5]R. C. Myers, M. J. Perry. Black holes in higher dimensional space-times, Ann. Phys., 172, 304(1986).

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基金项目：四川省自然科学基金（项目编号：2022NSFSC1806）与西华师范大学基本科研业务项目（项目编号：22kA005）资助。