运算能力是人们对于数学学科素养中最基础、最本质的要求，没有准确的运算能力奢谈数感、空间观念等其他素养的建立是没有意义的。《义务教育数学课程标准（2022年版）指出：“运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。”^[1]而简便运算又是一种独特的计算，综合体现学生的运算能力，对数感、简便意识、思维等方面的培养有益处。但是，简便运算真的“简单”吗？经过调研发现，简便运算已经成了学生和教师的一种负担。正因如此，激起笔者对“运算律”这一单元教学内容的研究兴趣和探索思考。如何处理好“运算律”这单元的内容呢？以下是笔者的一些思考，与各位同仁共飨。

一、研读教材，序列调整

（一）多维对比教材的差异

在学校的一次计算专题研讨活动中，笔者发现原来不同版本教材中运算律的编排也是不一样的。为了能与不同地区的教材充分对话，笔者特将两个版本的教材对“运算律”这单元内容的编排进行了梳理：

从上表中可以看出：两个版本的教材均将加法交换律放在第一课时，乘法结合律和乘法分配律前后相继出现。不同的是，人教版教材主要按同一种运算为单位结构进行安排，使学生在不同运算中感受交换律和结合律的相同点与不同点。除了五个运算定律外，还融合了连减、连除的简便算法，教学内容比较丰盛。而在北师大版教材中，把加法交换律以及乘法交换律进行整合教学，聚焦的是相同模型、相同结构，让学生加深对运算律的理解，进而达到知识间的互通。此外，教学乘法分配律时，北师大版教材里足足安排了2个课时，旨在突出重点、突破难点，而人教版教材因为内容较多，受到课时的限制，只安排了1个课时。由此可见，两版本教材各具特色又各有优点。

（二）深度研读人教版教材

人教版教材将运算定律的教学大致分为三个阶段：一至三年级的自然孕伏阶段、集中学习阶段、推广运用阶段。在四年级下册中“运算律”单元的具体编排结构如下：

教材编排脉络清晰、结构完整，有意识地把运算律的学习和运用以及实际问题相结合，强调方法上的灵活性。但细细一分析又发现，第一板块中的加法运算律相对简单，相应的运用形式也比较单一。第二个板块中，在学习乘法交换律和乘法结合律的知识点时，学生掌握得极好，因为它们与加法运算律几乎相同，有着异曲同工之妙，可学了乘法分配律后，学生就出现了混淆，漏洞百出。

（三）整体思考定教学序列

心理学系列位置效应理论指出：“学习材料性质越相似，抑制越严重，不同性质的材料之间，抑制就会减少。”^[2]运算律中，乘法结合律、乘法分配律形式上极其类似，因此学生容易混淆。系列位置效应还指出：“如果学习材料中各部分的位置不同，学习效果也会不同，且中间部分学习效果最差”。^[3]而乘法分配律正好处于人教版教材中第三单元的中间位置，学习该知识点时学习效果正不理想。为了避免这些问题，笔者尝试序列调整，增加了这一单元的学习课时，由原来的7课时增加到11课时，学习内容也重新进行划分，大致分成三个板块，具体调整情况如下：

笔者根据各版本教材和实际学情，对单元内容进行调序、整合、重组，呈现了新的编排方式。将相似的学习材料分隔开来，让相互干扰降到最低；将学习难点分散开来，让学生学起来能更容易些。

    二、多元途径，突破难点

学生最难理解及叙述的运算定律是乘法分配律，甚至六年级学生做到相关题目时都错误百出，因为它的变式最多，是本单元的难点。课堂教学中如何让学生在掌握运算律形式的同时理解运算律的本质是教学的一个重点。查阅了各种资料后，笔者做了以下方面的尝试，取得了较明显的教学效果。

     （一）改变教学内容，直击运算律本质

    教材中让学生经历了解决问题—观察算式—仿写算式—分析共同点—符号化抽象的过程，但要花很长的时间才切入到乘法分配律这个“正题”。记得一位郑教授说：“基础知识不应求全而应求联。”于是笔者由多位数乘法“134×16”这一竖式计算切入教学，一是让学生感受到乘法分配律不难，早在计算的时候就多次运用过了；二是可以在较短的时间内切入到乘法分配律这个“正题”；三是让学生顺利地理解乘法分配律其实就是将一个因数“拆分”、与另一个因数“分别相乘，再相加的过程”。

   【教学片段1】

    教师出示：134×16，让学生先列竖式计算。

师：请一位同学上来板写一下。

师：（生板写后）你们知道竖式计算的每一步骤的意义吗？

生：用6先去乘134得到804，再用“1”乘134得到“134”，最后，将两积加起来得到2144。

师：（生边说边补充竖式，如图1）看来我们在算134×16时，其实是把“16个134”拆分成“（10+6）个134”，再搭配成“10个134与6个134的和”。

1  3  4

×     1  6        10+6

   8  0  4        134×6  

1  3  4           134×10

2  1  4  4

(图1）

师：我们可以用横式表示刚才的笔算过程，134×16=134×（10+6）=134×10+134×6。（板书横式）

师：16除了可以拆分成10+6，还有哪些拆分办法？请同学们用这样的横式表示出来。

生1：134×16=134×（8+8）=134×8+134×8。

生2：134×16=134×（9+7）=134×9+134×7。

师：134×16=134×（2+8+6）=134×2+134×8+134×6拆成这样还成立吗？（学生表示成立）

师：除了将16拆分成几加几的形式，能不能拆成几减几的呢？（生尝试）

生：134×16=134×（20－4）=134×20－134×4。

师：你能列举其他这样的算式吗？也能成立吗？

（学生举例后进行验证）

课件出示23×（35+51）=23×35+51。

师：你觉得这道题对吗？

生1：不对。因为左边有86个 23，而右边只有35个23再加51，左右两边不相等。

生2：右边的算式如果再添上“×23”就对了。

师：（随着学生的回答，揭示乘法分配律的含义）你能用自己喜欢的方式表示乘法分配律吗？

生1：a×(b＋c)=a×b＋a×c

生2：a×(b－c)=a×b－a×c

归纳得出：

在引导学生进行“拆分”、“搭配”的变式活动中，学生自然而然地把“16”拆分为“两数和”延伸到“多数和”“两数差”，再让学生判断正误，这样学生就可以从乘法的意义去理解乘法分配律，面于多种复杂的变式，学生也会用“几个几”的方式进行检验。

（二）沟通问题解决经验，丰富概念表象

除了笔算经验，学生的问题解决经验也有助于运算律的理解和掌握。

 【教学片段2】

    出示：一件上衣要116元，一条裤子要84元，刘阿姨的服装店里购买了这种服装19套，一共需要付多少钱？

师：仔细读题，自己试着解决，然后想一想，从这个问题中，你发现运算律了吗？

生1：116×19+84×19，我是先算19件上衣的钱，再算19条裤子的钱，最                

后再加起来。                                      

    生2：（116＋84）×19，我是先想一套衣服的钱，再算19套的。

    课件出示这两个算式：（1）116×19+84×19，（2）（116＋84）×19。

生1：这不就是乘法分配律嘛，得数是相同的。

生2：我发现第（1）个式子是分开来算总价钱的。

师：如果把第（1）式子叫分开来算的话，那么第（2）个式子可以叫合起来算。我们把这两个式子叫做乘法分配律的基础型式——分合型。在这里，哪种算法更快捷？

在解决实际问题中，通过这两种方法计算的对比，让学生对乘法分配律的认识提升到快捷简便的高度。“分开来算”、“合起来算”的表述虽不甚严密，却是学生的直观感受，也是接近学生认知水平的一种表征方式。在教学中，为了理解抽象的数学概念，允许学生运用这种语言来表达。

（三）借助适度拓展，提升思维能力

鉴于乘法分配律的变式较多，又容易和乘法结合律混合，在练习课时不妨做如下尝试：

1.教师出题，学生试做。

125×（8+4）     125×（8×4）

学生做完一组题目后，让学生分类编题解答，或者学生分类编题后同伴解答。

2.对比不同，归纳区别。

    （1）意义不同：乘法分配律是指两个数的和或差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加或相减。乘法结合律是指三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

（2）字母表示不同：乘法分配律 A×（B+C）=A×B+A×C； 乘法结合律（A×B）×C=A×（B×C）。

（3）运算级数不同：乘法分配律包含两级运算——乘加或者乘减；乘法结合律只存在乘法这一种。

     3.梳理系统，提升思维。

教师出示4道算式，99×53+53，56×99，（5+12）×24，115×3+115×7。学生先独自尝试计算，接着交流想法。在此基础上，教师对乘法分配律进行梳理（如图2）。

  乘法分配律          乘法分配律逆运算  

          a×(b＋c)=a×b+a×c       a×b+a×c=a×(b＋c)

          乘法分配律变式         乘法分配律逆运算变式

           拆分成两数之和或差                  补上隐藏的“×1”

              例：56×99                          例：99×53+53            

                          （图2）

虽然乘法分配律有多种变式，但万变不离其宗，都能用乘法的意义——“几个几”的方式来加以解释。只有针对性的拓展练习、系统地梳理，乘法分配律这一知识点才能被学生理解、掌握，才能更好地运用。

三、错例反思，私人定制

整个单元教学结束后，学生或多或少都会犯错，看着多种多样，但仔细分析、归类后主要有三种类型：

相似题型干扰。虽然通过教学序列的调整、教学过程中的要素比较已经尽可能地避免乘法分配律和乘法结合律互相干扰，但这毕竟是教学的难点。

凑整意识混乱。（如错例1）学生看到68和32，就马上想到凑整；（如错例2）看到99就想凑成100，只想到“+1”就能变成凑整，却忘记了式子计算的恒等，应该思考100怎么变成99。

错例1： 123-68+32                 错例2：  27×99

       =123-（68+32）                      =27×（99+1）

       =123-100                            =27×100

       =23                                 =2700

两种定律的弱化。减法和除法的性质跟其它五个运算定律相比不够显著，教材中相关的练习也不多，再加上“增减括号”、“带着符号搬家”对学生来说难度较大。

了解学情之后，有的放矢，查缺补漏。一方面数学教师要学做有心人，在批改作业时将学生的典型错题记录下来，上课时可以重点分析。另一方面，让学生搜集错题也是个很不错的办法，只要有错题，就让学生按要求及时摘录，一有时间就拿出来翻阅。通过一次次地与“私人定制”的错题见面，学生不断地进行反思，强化正确认知。

在“双减”背景下，站在数学知识的结构与学生认知结构的高度上，以及从学生的实际学习情况出发，对“运算律”这一单元进行整体教学设计，课堂教学才更具高效性、整体性与关联性，知识的重难点才能精准突破，学生的课业负担才能有望减轻。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022年版)[M].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2][3]陈晓燕.经历归纳推理过程积累思维活动经验——以“运算定律”教学为例[J].中小学教材教学,2017(2).