两个空间几何体组合在一起，要看清其位置关系与度量关系，需要学习者的空间想象力与逻辑推理力，而这正是《普通高中课程标准》中“直观想象”三级测试水平的目标，近年高考数学命题中，命题专家也尝试这样的设计，目的就是检测考生的直观想象能力．

一、两个球相切放置下的直观想象

问题1．（真实情境下的直观想象）已知半径分别为1和2 的两球紧贴放在水平桌面上， 则两球在桌面上的俯视图的公共弦长为       

知识点  球体与相切

操作点  空间三视图画法技术与数值计算技术

智慧点  直观想象中逻辑分析策略

问题2．已知半径分别为R和r（R＞r）的两球紧贴放在水平桌面上， 则两球在桌面上的俯视图的公共弦长为       

解析：根据三视图画图规则“长对正”可知O₂O₃==2

公共弦为AB=2AC

，，

AC×2=Rr=，AB=2AC=

解读：《普通高中数学课程标准》有关“直观想象”的测试水平一要求：能够在熟悉的情境中，建立实物的几何图形，能够建立简单图形与实物之间的联系；体会图形与图形、图形与数量的关系；能够在熟悉的数学情境中，借助图形的性质和变换（平移、对称、旋转）发现数学规律；能够描述简单图形的位置关系和度量关系及其特有性质；能够通过图形直观认识数学问题；能够用图形描述和表达熟悉的数学问题、启迪解决这些问题的思路，体会数形结合，此问题恰好印证这一水平，两个球体是生活中最常见的几何体，一大一小，相互作用后组合成一个几何体，此时要空间想象它们的位置关系，值得注意地是给出的实物模型不是问题的模型，但是对问题思考有帮助作用，问题只给出正视图，俯视图是解题者需要空间想象而得到，这正是测试水平一中“借助图形的性质和变换（平移、对称、旋转）发现数学规律”真实体现．

二、长方体挖去四棱锥下的直观想象

问题3．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图1，该模型为长方体挖去四棱锥O—EFGH后所得几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm³，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.

知识点  长方体与四棱锥

操作点  数值计算与平面化技术

智慧点  几何量识别判断策略

解析：为了求几何体的质量，首先要求其体积，而所求几何体的体积

=－，将侧面图形单独分析，易知四棱锥的底面是一个菱形，其面积易知，其高不难从题设“O为长方体的中心”知，=3，于是

=144－=132

模型所需原料的质量为132×0.9=118.8

解读：《普通高中数学课程标准》有关“直观想象”的测试水平二要求：能够在关联情境中，想象并构建相应的几何图形；借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律；能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法，能够借助图形性质探索数学规律，解决实际问题或数学问题，此高考题看似容易，但是设计内涵是丰富的，一方面，两个规则几何体的有机组合；二是根据题意“发现图形与图形、图形与数量的关系”，命题专家把四棱锥的位置侧放，增加应试者的空间想象难度，以及平面化的技术操作．

三、正方体切割后的直观想象

问题4．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图5是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.

知识点   多面体与投影

操作点   正方体的切割技术与投影分析技术

智慧点   直观想象下的切割策略与投影思想

解读：《普通高中数学课程标准》有关“直观想象”的测试水平三要求：能够在综合情境中，借助图形，通过直观想象提出数学问题；能够综合利用图形与图形、图形与数量的关系，理解数学各分支之间的联系；能够借助直观想象建立数学与其他学科的联系，并形成理论体系的直观模型；能够通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，反映数学问题的本质，形成解决问题的思路，此高考题，把一个体现数学文化的“半正多面体”，既可以看作是组合体，又可以通过切割呈现，其需要的空间想象能力是非常高的，符合测试水平三“综合情境中，利用图形与图形、图形与数量的关系，理解数学各分支之间的联系”，为了解决问题需要将空间位置关系平面化，投影到一个平面上研究数量关系．

四、球内接棱锥下的直观想象

问题5．已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，==，是边长为2的正三角形，E，F分别是，中点，=90°，则球O的体积为（  ）

A． B．   C． D．

知识点  多面体与旋转体

操作点  数值运算

智慧点  空间图形平面化，互补角余弦值互为相反数列方程策略

解析：设侧棱长为，从空间图形中拿出平面图，

解得，=

又

1=，，V==，选择D

变式：已知四棱锥的五个顶点在球O的球面上，===，是边长为2的正方形，E，F分别是，中点，=45°，则球O的表面积为___

解析：根据题意为等腰三角形，==，

设=， 则

，

设球半径为，

，

所以

解读：球内接多面体的问题虽然是常规的，但是它仍然是检测直观想象的“主力军”， 正是测试水平二中“能够在关联情境中，发现图形与图形、图形与数量的关系”．

五、搭建空间图形中的直观想象

问题6．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为          .

知识点  四棱锥与圆柱

操作点  根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径

智慧点  在关联情境中，想象并构建相应的几何图形策略

解析：由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，借助勾股定理，可知四棱锥的高为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，故圆柱的高为1，一个底面的圆心为四棱锥底面中心，圆柱的底面半径为，故圆柱的体积为

解读：圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半，不是底边棱长的一半，题中没有给出直观图，解题者为了把握数量关系，需要根据题中信息搭建起空间图形的直观图模型，正是测试水平二中“能够在关联情境中，想象并构建相应的几何图形”．

六、空间组合体问题的突破策略

1．类型与特征

高考数学命题中“空间组合体问题”的类型离不开多面体与旋转体的位置变化

一是相切型，如问题1，2，难点在于放置位置不同，会影响直观想象；

二是相接型，如问题5，6，一个多面体，一个旋转体，这是常规教学中常见类型，一般找到轴截面，位置关系与度量关系比较容易找到；

三是切割型，如问题3，4，难点在识别空间几何体的形成过程，以及投影下的线段数量关系；

四是创新型，一个几何体经过特别的操作后，形成一个动态组合体，检测应试者对于动态的几何体，其中的变化规律，在逻辑分析与直观想象中判断，真正考察学生的直观想象核心素养．

2．操作突破

高考数学命题中“空间组合体问题”求解过程中需要技术操作，一是画直观图技术，需要平时养育“直观想象”能力；二是把握数量关系计算技术，需要掌握点、线、面位置关系与度量关系相关性质与计算方法；三是动态几何体在不同阶段的静态图形的操作技术．

3．素养形成训练策略

高考数学命题中难度较大的“空间组合体问题”求解过程中，需要智慧点相助，如平面化策略，投影法策略，补角余弦值建立方程组策略等，关键还是养育直观想象这一核心素养，平时学习中，借助橡皮泥或小木棍动手制作空间几何体或组合体，丰富自己的空间想象，注意观察建筑物的整体结构，并与所学空间图形相联系，理论联系实际，锻炼自己的空间想象；在空间图形问题的数学实验中增强自己的直观想象．

参考文献

1.  叶琪飞，回归概念是良策 洛氏法则为哪般[J]，数学通报，2017年10月，46—48，55

2．余继光，例谈高考数学应试中的知识点、技术点、智慧点[J] ，教学考试（高三数学），2019（6）：55—57

作者简介：林鉴强（1975.5—），男，浙江丽水人，正高级教师，浙江省特级教师，从事数学教育教学案例研究、高考数学命题与复习研究．