问题：（2024全国新高考I卷第18题）

已知函数.

(2) 证明：曲线是中心对称图形.

解决上面的问题，最关键的是从定义域开始进行探究，易得的定义域为，若曲线具有对称性，则可能是直线为对称轴，也可能是对称中心横坐标为1，经过数学运算探究可得，则可证明曲线是中心对称图形，且对称中心为，此题考查函数的对称性，笔者继续对如下分式函数进行探究.

一、 引例

函数的对称中心为__________．

分析：题目考查的是分式函数图象的对称性，题问很明确，求此分式函数图象的对称中心.首先，看一下这个分式函数的由来，它是由三个一次分式函数求和得到的，其中每一个都是由基本初等函数平移得到的，那函数的对称性是怎样的呢？我们来一起探究，我们知道是关于原点成中心对称，通过不同平移再求和，我们可以判断依然存在对称中心，证明如下：

函数定义域为，显然此函数图象对称中心的横坐标为，则.所以此函数图象的对称中心为.此问题的本质为的对称性问题，其简图如下：

通过图象可以得到对称中心，代数形式推导也易得对称中心.

二、 问题探究

探究1: 函数的对称性，在定义域下易推得0，所以函数图象对称中心为. 简图如下：

推广1:函数图象的对称性，函数定义域为,由于0, 所以函数图象对称中心为.

探究2：函数的对称性，在定义域下0，所以此函数图象的对称中心为. 简图如下：

变式：函数图象的对称性，显然可以根据定义域判断此函数图象不具有对称中心和对称轴.

推广2：函数的对称性, 在定义域下显然可得0, 所以函数图象对称中心为.

探究3：函数图象的对称性，在定义域下0，所以此函数图象的对称中心为. 简图如下：

推广3：函数的对称性, 在定义域下显然可得0, 所以函数图象对称中心为.

探究4:   函数的对称性，在定义域下易推得，所以函数图象对称轴为.简图如下：

推广4：函数图象的对称性，函数定义域为,由于, 所以函数图象对称轴为.

探究5：函数的对称性，在定义域下易推得，所以此函数图象的对称中心为.简图如下：

变式：函数与函数的对称性，显然可以通过对称性代数形式的推导判断这两个函数图象是不具有对称轴和对称中心的，也可以用数学画图软件画出相应函数图象进行判断.

推广5：函数的对称性, 在定义域下显然可得0, 所以此函数图象对称中心为.

探究6：函数图象的对称性，在定义域下显然可得0, 所以此函数图象对称中心为. 简图如下：

推广6：函数图象的对称性, 在定义域下显然可得0, 所以此函数图象对称中心为.

笔者利用同样的探究方法，对如下函数图象也进行了对称性的分析与严格的推理论证，得出如下结论：

① ，其图象对称中心为;

② ，图象无对称中心，无对称轴;

③ ，图象无对称中心，无对称轴;

④ ，其图象对称轴为;

⑤ ，其图象对称轴为;

⑥ ，其图象对称轴为;

⑦ ，其图象对称轴为.

以上结论也可以相应得以推广并推理论证.如下举一例推广论证：

推广：函数的对称性, 在定义域下显然可得, 所以此函数图象对称轴为.

三、探究结论与成果

当一次分式函数由,,……，若干项进行加减运算得到，则在相应定义域下，有如下结论：

把每一项按照其分母的零点从小至大依次排列，

1.项数为奇数时，若距首末位置等距离的两项符号均相同，且两项相应的零点的算术平均数均为中间项的零点，则此函数图象具有对称中心，其对称中心横坐标为中间项零点，纵坐标为零，例如探究5及推广5； （记为结论一）

2.项数为偶数时，（1）若距首末位置等距离的两项符号均相同，且两项相应的零点的算术平均数均相同，则此函数图象具有对称中心，其对称中心横坐标为相应的两零点的算术平均数，纵坐标为零，例如探究6及推广6；（2）若距首末位置等距离的两项符号均不同，且两项相应的零点的算术平均数均相同，则此函数图象具有对称轴，其对称轴横坐标为相应两零点的算术平均数，例如推广. （记为结论二）

四、应用举例

求函数图象的对称中心.

题目分析：可将上述函数分离常数得），即只要研究函数图象的对称中心，通过平移翻转变换即可得到目标函数图象的对称中心，由结论一，易得函数图象的对称中心为，所以通过平移翻转变换可得函数图象的对称中心为.

参考文献：

[1]高考数学研究组.浙江高考数学试题全解全析[M].杭州：浙江大学出版社，2018：19.