一、单元主题分析

《分数除法》属于数于代数的领域中数与运算主题。相比2011版数学课程课标2022版数学课程标准把原有六个主题中的五个：“数的认识”“数的运算”“探索规律”“式与方程”“正（反）比例”调整为“数与运算”和“数量关系”两个主题，其目的是为构成相对系统的知识结构，体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上是一致的，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。

如何在实现在数的认识和数的运算教学中体现一致性，通过查找资料，专家、学者给出了相应建议。董文彬：以核心概念统领教学的整体性与一致性——以小学数学“数与运算”主题学习为例一文中强调：从数概念的形成和数的组成角度看，整数、小 数、分数都是基于“计数单位”建构的，本质上是一个整体，具有一致性。数的认识教学重点是理解数的建构方式。事实上，所有的数都诞生于计数单位，数的产生就是计数单位产生的过程，如图右所示。

巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］.课程·教材·教法，如下梳理：

1.在整数加、减法计算中，学生能自觉用“末位对齐”的方法快速做到“相同数位对齐”，理解这样做的理由是“相同数位上的数直接相加、减”；在小数加、减法计算中，能自觉用“小数点对齐” 方法快速做到“相同数位对齐”，这样做的理由是“相同数位上的数直接相加、减”；在分数加、减法计算中，能自觉判断是否同分母分数相加、减法，若异分母分数加、减法，先通分再按同分母分数相加、减法计算，这样做的理由是“相同计数单位上的数直接相加、减”；学生能主动关联，达成“加减法运算的一致性”目标。

2.整数乘法竖式计算，学生结合情境，结合计数单位理解竖式计算中的每一步其实质是记录算出的计数单位的个数；小数乘法转化成整数乘法计算，学生不难理解竖式计算中的每一步的意义，确定积的小数位数则是通过积的变化规律来解释；分数乘法主要是通过画图得出结果，观察等式合情推理算法。从学生现有的认识走向乘法运算的一致性体现“计数单位与计数单位相乘，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘”需要再学习再认识的过程。乘法是加法的简便运算，结合学生的已有经验，不难发现并理解“计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘”，难在理解“计数单位与计数单位相乘”，借助图形理解算理的经验可以帮助我们打通壁垒，走向“乘法运算的一致性”目标。

3.学生整数除法竖式计算，从计数单位和单位个数的眼光来看，其竖式计算中的每一步表示的是计数单位个数细分过程，小数除法转化成除数是整数的除法计算，竖式计算中的每一步也表示计数单位个数细分过程，从这一个角度来说，整数除法与小数除法存在着一致性。分数除法的学习主要是用“包含除”借助图形理解算理，通过合情推理得出算法“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数”。这一算法体现了除法是乘法的逆运算，适用于整数、小数除法运算。从逆运算的角度，可以理解除法运算的一致性。结合具体，理论上可以从计数单位的个数细分角度也能理解除法运算的一致性。

但如何实践，特别是分数除法单元，史宁中教授在《基本概念与运算法则》一书中强调小学数学的教学中，除数是分数时的除法运算是难点之一。在许多情况下，学生只是记住了运算的法则，学生很难理解其中的道理。我们专门对现在六年级的学生进行了调查，有62.6%的学生是不理解算力的，让我们可喜的是有近10%的学生用了通分的方法，而且孩子能从除法的意义说明除法的算理。基于以上分析，确定了研究的主题：聚焦除法运算本质，凸显运算一致性。

二、单元整体分析

（一）教材分析：

对比现行北师大版、人教版和西师版教材，他们的任务序列是相同的都是按照，分数除以整数、一个数除以分数和分数除法的应用开展教学的。在分数除以整数的教学中都是从平均分的意义及分数与除法之间的关系，通过面积模型得出算法，这样的设计有利于理解意义，但缺乏计数单位细分及多元表征的过程，不利于算理的理解。对于一个数除以分数则过快用归纳推理得出算法，缺乏对除法意义的理解，没有从度量角度沟通算法的一致性。

（二）学情分析

刚学完分数加减乘法的学生对于除法又会有怎样的认知和可迁移的经验那，我们对于五年级的学生展开了调研。分数除以整数孩子能够正确计算并且有50多的孩子用了平分计数单位的方法，也有30的学生用了乘倒数的方法。对于分子除不尽的情况，有20的孩子进行了通分，对于整数除以分数也有学生用通分的方法。说明孩子能够从基数单位角度进行迁移，但考虑到乘倒数的方法较多，后续在访谈过程中，这些孩子大部分是提前进行学习的，只会计算方法，并不理解算理。

（三）核心问题

1.如何体现分数除法与整数、小数除法在算理上的一致性？

2.除以一个（不为0）的数为什么等于乘这个数的倒数？

（四）研究路径

基于以上分析，我们确定了本单元研究路径：落脚点放在应用计数单位沟通联系，在这个过程中明晰运算意义、凸显运算本质、实现一致性；延伸点放在应用转化策略理解算理，通过归纳推理、应用多元表征验证乘倒数方法的合理性。

（五）学习目标

1.能够沟通"整数、小数、分数除法”运算方法之间的关联，体会除法算法上的一致性和可迁移性，学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展运算能力和推理能力。

2.经历分析问题，多角度解决问题及回顾反思的全过程。学生能够结合情境，借助操作、推理等活动，体会分数除法的意义，感受分数除法与整数、小数除法的联系，经历自主寻找分数除法运算通法的探究过程，会用正确合理的算法进行分数除法运算和解决问题。

3.感受探究数学知识的乐趣与价值，获得勇于探究，合作交流的情感体验，提高数学学习的兴趣。

（六）重构课时及结构框架（如右图）

三、课时简要说明

为凸显主题我们确定的三节核心课为《分数除以整数》《整数除以分数》和《分数除以分数》。三节课都是从除法意义入手，应用转化策略，探究乘倒数的算理和应用计数单位沟通一致性。都是按照从特殊到一般，在探究过程中按照从计数单位和转化思想上理解算理，寻找算法，最后形成通法的过程完成探究。

四、单元特色和设想

本单元从运算意义和计数单位角度进行整体设计，这样的设计有助于唤醒学生原有的知识经验，使学生感悟运算的一致性，沟通了整数、小数、分数除法之间的联系，提升学生的推理意识和运算能力，落实课标要求。

五、重点课时简介（整数除以分数）

教学目标：

1.联系除法的意义以及分数除以整数分析的方法，进一步探究整数除以分数的意义和基本算理。通过探究过程，使学生掌握探究知识的一般规律，获得探究新知识的基本思路和方法，提升计算和推理意识。

2.学生经历“探究算法——验证算法——运用算法解决问题”的过程，掌握分数除法的普遍计算方法，并能正确进行计算。

3.在验证算理过程中，感受探究数学知识的乐趣与价值，获得勇于探究，合作交流的情感体验，提高数学学习的兴趣。

教学重点：理解并掌握分数除以整数的计算方法，并能正确进行计算。

教学难点：理解分数除以整数基本算理和感受整数、小数、分数除法的运算一致性。

任务设计：

任务一：探究整数除以分数单位的算理算法。

活动1：沟通除法意义

1. 4张同样大小的圆形纸片,每2张分一份，可以分成几份？4÷2

2. 4张同样大小的圆形纸片,每0.5张分一份，可以分成几份？4÷0.5 

3. 4张同样大小的圆形纸片，每张一份，可分成几份？

想一想：这三个算式表示的意义相同吗？

活动2：探究整数除以分数单位的算理算法。

要求：

1. 尝试计算，用画图或文字等方式表示出你的计算过程。

2. 尝试说一说你是如何计算的。

活动3：再次理解

（1）每张分一份，可以分成几份？

（2）每张分一份，可以分成几份？

【设计意图：学生通过整数除法、小数除法的包含除法的意义迁移到分数除法的意义。】

任务二：探究整数除以分数单位的算理算法。

 4张同样大小的圆形纸片，每张一份，可分成几份？

1.想一想：如何列示，算式表示的意义是什么？

2.猜一猜：结合刚才的探究过程，猜想整数除以分数的算法。

3.证一证：请你结合我们原有的知识证明你的猜想成立的。

4.说一说：组内说一说你的验证方法。

【设计意图：由特殊到一般。层层深入地研究，从特殊的例子到一般的例子，是培养学生严密的、严谨的数学思维。】

任务三：探寻分数除法与整数、小数除法的一致性。

分数除以整数可以从计数单位细分的角度沟通整数、小数、分数除法的一致性。在单元引导课的学习中，同学们就提到了分数除法和整数、小数除法之间会有哪些关系，我们探究了整数、小数除法当计数单位相同时可以用计数单位的个数相除，分数除以整数与小数整数除法的意义相同，是否可以按这个思路进行计算呢？

1.想一想：怎样才能使计数单位相同？

2.算一算：计算出结果。

3.说一说：每一步的含义。

总结：计数单元不但沟通了原有的知识，还是乘倒数背后的道理，计数单位是运算的核心！

【设计意图：以层递的方式细化教学流程和内容，化难为简，让学生上台阶式开展学习活动，获得自学成功的成就感，培养了学生自主学习的习惯，锻炼了学生的自学能力，增强了学生学习数学的信心。】

任务四：学以致用  巩固提升

1.选择你喜欢的方法算一算，并尝试说一说这样计算的理由。

3. 为实现碳达峰、碳中和的发展目标，我国加快推动新能源汽车产业快速、高质量发展。若一个充电桩给一辆电池容量为100千瓦时的电量耗尽的电动汽车充满电仅需

【设计意图：本环节主要分基础练习、拓展训练。学生通过浅入深的适量练习，在解决问题过程中内化新知，也对学生学习效果的评估和调研，为后续进行的查漏补缺提供依据。】

参考文献：

1.教育部，《小学数学课程标准（2022）版》北京师范大学出版社出版，2022.4；

2.董文彬.认识与解构:方格纸的特点及其在数概念形成与发展中的价值[J].教育科学论坛，2021(5):27.
3.孔子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角:数的概念与运算的一致性[J]. 课程·教材·教法，2022(6):48.

4.史宁中,《基本概念与运算法则》高等教育出版社，2013.5.