基金项目：2021年贵州大学省级本科教学内容和课程体系改革项目（编号：2021028）：课程思政视野下《数学分析》课程教学改革与实践

一、引言

数学分析是数学类本科专业最重要最核心的基础课程，是常微分方程、实变函数、复变函数、泛函分析、数值计算方法、微分几何、数学物理方程等后续专业课程学习的必备基础，也是本科生继续深造必涉及的科目。作为数学专业最核心的基础课之一，数学学科的逻辑性和历史继承性决定了数学分析举足轻重的地位。基于微积分在理论体系上严格化和精确化的特征,也确立了数学分析在整个自然科学中的基础性地位。另一方面，数学研究的主体是抽象化的对象，其思考方式也具有明显特征，如：抽象化、逻辑推理、符合运算等。这些能力的培养必须通过系统、扎实的训练来实现，数学分析课程正是这个实现中的最重要一环。

2020年5月，教育部引发《高等学校课程思政建设指导纲要》，指明课程思政的根本任务就是立德树人，所有课程的教学工作都肩负着知识传授、能力建设和价值引领三位一体的育人责任。数学分析是数学专业本科生学习时间跨度最长的课程。一般三个学期，教学内容极为丰富，教师能够充分把握机会，以教学内容为载体，将思政元素有机融入数学分析课程建设，这将有助于提高人才培养质量，对实现立德树人目标具有重要现实意义^[1]。

二、数学分析课程思政教学策略

（1）思政下教学内容和设计的重组与更新

在课程思政指引下，对数学分析教学大纲进行修订，在注重基础知识、基本理论、基本技能、突出重点的基础上，对教学内容进行优化、调整，合适地融入思政元素，充实新内容，以使教学更有针对性。教学内容上，深挖课程中的科学知识背后所蕴含的哲学观点和思维方法、追求真理与科学态度、思想品德与人文关怀、爱国主义与奉献精神、诚实守信与爱岗敬业、艰苦探索与创新精神等思政元素，为课程思政提供有益素材和案例。在教学设计上，找准连接点，充分揭示专业知识传授与思政元素之间的内在联系，进行合理设计和安排，引导大学生接受社会主义价值观和中华民族优秀传统文化教育，提升学生的民族自豪感和责任感，增强学生的民族凝聚力^[2]。例如：当讲授数列的极限理论时，可引入我国古代数学家刘徽的割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”作为思政元素，发扬我国古代数学文化魅力。讲授无穷积分的概念时，可引入我国载人航天工程30年辉煌的发展历程与建设成就，发扬中国航天艰苦奋斗与无私奉献的精神。

在课程设计中，加强学生对数学学科重要性的认识。张恭庆院士曾说^[3]：“数学实力往往影响国家实力，世界强国必然是数学强国；数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求”。张平文院士在《数学与企业创新》中指出^[4]：“国家的创新发展与数学密不可分，其中应用数学的发展主要由国家需求驱动，具体体现在科学发现、国防建设和企业创新方面。”在以企业为主体的创新活动中，对数学尤其是应用数学提出更高要求和期望，对数学学科发展带来全新的机遇和挑战。中国已开启全面建设社会主义现代化新征程，也面临关键科学技术“卡脖子”问题。基础学科研究是引领原创成果重大突破的保障，数学是基础学科中的基础。因此，在教育过程中要凸显出数学学科的重要地位。因此，在教学过程中，要不断深化数学的重要性，强化数学的价值导向，增强学生学习的自主性。

（2）思政下教学方式方法改革

在教学方式上，将黑板、多媒体、网络相结合，综合运用板书、PPT展示、网络资源共享、在线实时交流等灵活多样的教学方式，弥补各种教学方式自身的缺陷，让学生更多、更深、更好地参与到教学活动中来，激发学生学习的主动性和创造性，这样既能弱化教师的主导地位、减轻教师的授课压力，也能提高学生的学习兴趣和学习效果。在教学方法上，自然融入思政元素，重点探索启发式、探究式、讨论式、参与式、翻转课堂等教学模式，进一步调动学生学习的积极性。因此，课程思政更需要重视翻转课堂等教学理念，学生在思政驱动下认识数学的价值，养成良好的数学观念。

（3）思政下教学模式的探索

探索以“学生需求、问题导向”为基础，着力构建“课堂授课+小组讨论+学生报告”的课程思政教学新模式，增强教学时效性。具体措施为：改革填鸭式教学及学习方式。教师主要针对重点和难点内容进行细致教授，恰当并自然地结合思政元素，提出问题，启发学生去思考和讨论，鼓励学生自由想象，引出不同观点，发现知识和法则，并深入理解。学生在寻求解决具体问题的最佳方案及具体过程中，通过彼此的学术观点的交锋来反思理论本身，从而将理论认识推向深入，这有助于提升学生的分析能力与综合能力、表达能力与沟通能力，以及培养团队协作精神。布置合适的带有思政元素的开放式问题，让学生讨论学习后写成报告。不但可以解决课程内容多、学时少的问题，还可激发学生的求知欲，发挥学生学习的主动性和创造性。

（4）思政下的科研元素融入

课程教学中适当融入相关的前沿科研元素，激发学生的探索欲望，成为积极

思考的触发器，有助于培养学生的创新能力。在讲解前沿问题时，时常联结与数学家的联系，学习数学家攻坚克难的科研精神和行为示范，有助于激发学生的学习内驱力、以及提升科学观察和分析问题的能力，培养科学家素养和科学家精神大有裨益。例如：在讲解一个函数可微的概念和定义时，可以突出“以直代曲”或“线性化”的基本思想^[5]。“以直代曲”的思想将会在定积分的定义、Newton迭代、Euler格式等诸多地方出现。在科学前沿中，很多科学问题都是求解非线性问题，传统的标准办法就是先对问题进行“线性化”，然后研究非线性部分的性质。数学分析中的基本思想对科学研究有着本质的指导作用。总之，在课程教学中融入科研元素，能够发挥很强的示范效应，能够很好地感染和引导学生。

三、思政教学实践案例

下面以实数系的连续性（即实数系的基本定理）为例，展示课程思政教学。

（1）教学内容

讲授实数系的连续性。利用实数的无限小数表示，证明非空有界的数集在实数集中必有上确界与下确界，即最小上界与最大下界。我们先证明确界原理，然后互推等价定理^[6]。

（2）指导思想

17世纪，Newton与Leibniz 建立了人类科学史上最伟大的微积分，它在解决实际问题方面起到十分重要的作用。但直到Cauchy、Weierstrass等建立严格的极限论，微积分的严格理论才得以牢固建立。作为极限理论的出发点，实数系的基本定理——实数系的连续性，在数学分析课程教学中占有举足轻重的地位。课程思政教学过程中，可以有效输入人文素养和严谨的数学科学素养。实数系的基本定理是数学系一年级学生首次接触高等数学最漂亮、最优美的数学定理，而且在实变函数、复变函数、泛函分析等后续课程中有着深刻的重现。根据教学要求，实数系基本定理的关系图如下：

这些定理是相互等价的，其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。我们采用对学生来说非常熟悉的实数的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确界存在定理，既使得学生容易掌握，又使得本书的极限理论得以完备化。本节的教学，要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对实数系的连续性不仅能从几何上理解，还能从分析上掌握如何加以证明；并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为整个数学分析课程的“活动舞台”。

（3）教学安排

首先讲述人类对数的认识的发展历史：自然数⇒整数⇒有理数⇒实数。讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性, 有理数系具有稠密性, 对于实数系，让学生先从几何上理解它的连续性：实数布满整个数轴而无“空隙”。

确界原理是一个体现构造性证明的定理，先将实数表示成无限小数，构造出满足某种条件的无限小数，证明该无限小数是最小上界。

（4）教学思考

极限论的抽象概念不易接受，在讲课时应突出几何直观。课程中要遇到不少与一些抽象概念有关的命题，在给出它们的分析证明时要教会学生正确的逻辑思维方法。让学生理解实数系的连续性有多种等价的表达，这些等价定理构成了极限论最基本、最丰富的内容。

四、结束语

数学分析作为数学专业课时最长且最重要的基础课程，可以在教学的各个环节深入挖掘思政元素，实现数学专业知识传授和思政教育的融合发展。学生在领悟数学思想、学习专业知识的同时，培养了学生的科学素养和家国情怀。同时，数学专业教师应尊重数学学科发展规律，努力进行课程思政实践探索，始终坚守立德树人这一根本任务，切实提高人才培养质量。

参考文献：

[1] 秦厚荣、徐海蓉. 大学数学课程思政的“触点”和教学体系建设. 中国大学教学. 2019(9): 61-64.

[2] 高红亚. “数学分析”中课程思政若干案例. 保定学院学报. 2020(33): 112-115.

[3] 张恭庆. 数学与国家实力. 紫光阁杂志. 2015.

[4] 张平文. 数学与企业创新. 智库观点. 2021(36): 484-489.

[5] 伍胜健. 数学分析（第一册）. 北京: 北京大学出版社. 2009.

[6] 陈纪修、於崇华、金路. 数学分析（第三版第一册）. 北京: 高等教育出版社. 2019.

作者简介：李思锐 1983.3 男 贵州 汉族 博士 教授 贵州大学数学与统计学院 研究方向:应用数学