基于转化与化归思想的立体几何教学

以《空间几何体的外接球》为例

陈剑
东莞市东莞中学  

摘要:转化与化归思想是重要的数学思想，在数学的各个方面广泛使用，空间几何体的外接球问题是立体几何中的重要知识点，对学生的空间想象能力有着较高的要求本文希望通过转化与化归思想把一些常见的空间几何体的外接球问题转化为几个简单的模型得以解决.

关键词  转化  化归  外接球

一、转化与回归思想

转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法。就是将待解决或尚未解决的问题通过转化，归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定方法或程序的问题，最终得到问题解决的思想方法。转化与化归的目的是将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；《空间几何体的外接球》这节课因为空间几何体的多样性与复杂性，学生往往感觉比较难以解决，因此希望通过先解决学生熟悉的正方体模型的外接球，再通过转化与化归的思想解决其他复杂情形。

二、空间几何体的外接球的考察要求

近几年高考全国卷或者新课标卷基本都有涉及几何体的外接球问题，常以选择题或填空题的形式出现，一般借助锥体或柱体考查外接球的表面积和体积，难度中上，2022年涉及到几何量的范围问题，综合考察函数思想或不等式，难度较大。相关问题主要是确定球心位置，研究球的半径，需要较好的空间想象能力、画图能力和模型化思想.学生通过前面的课程已经掌握了空间几何体的结构特征和表面积、体积公式，熟悉了球的表面积和体积公式.这节课的教学目标是以柱体、锥体的外接球问题为载体，探究确定球心位置的方法，完善知识方法体系，体会转化与化归的数学思想方法，提高解决数学问题的意识与能力，积累解题经验；通过对空间图形的组合、分解、转化，促进直观想象素养的提升．教学重点和难点是外接球球心位置的确定，并计算其半径．

三、转化与化归思想指导下的空间几何体外接球的课堂教学设计

（一）近五年高考情况简介

考查形式：选择题、填空题

考查难度：中上

考查载体：棱锥、棱柱为主，长方体模型，直棱柱模型确定球心位置和半径

能力要求：画图能力、空间想象能力、计算与逻辑推理能力

设计意图：全面了解新高考对空间几何体外接球的考察要求，学生做到心中有数。引起学生对该问题的关注与重视。

（二）复习球的表面积公式和体积公式，以及球的主要性质

(1)平面上圆的垂径定理：             

(2)球的表面积公式：               球的体积公式：                 

(3)球的截面图形是        ，球心和截面圆的圆心连线与截面        ，设球的半径,截面圆的半径，球心到截面圆圆心距离，则三者之间的数量关系是：                        

设计意图：通过复习平面内圆的垂径定理，引导学生的思维从平面类比到空间，得到空间中球的半径、球心到截面圆心距离，截面圆半径三者之间的勾股关系。

（三）典例分析

例1.已知长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球O的球面上，则球O的半径为 　　　　　．

思考：请从长方体的8个顶点中选出不共面的几个点，以它们为顶点能形成哪些常见的几何体？他们分别有怎样的几何特征？他们的外接球和原来的长方体的外接球是同一个球吗？由此你有什么想法？

变式1：已知直三棱柱的各顶点都在球的球面上,且,,,,则球的半径为 　   　

变式2：已知直三棱柱的各顶点都在球球面上,且,,则球的半径为          

变式3：已知三棱锥的各顶点都在球球面上,且⊥平面,,,则球的半径为         

变式4：已知四棱锥的底面是矩形，其中,，平面⊥平面，为等边三角形，则四棱锥的外接球半径为          

设计意图：从学生熟悉的长方体的外接球入手，通过空间中不共面的四个点确定一个球的理论基础，让学生主动从长方体中寻找到一些常见的与长方体具有相同外接球的空间几何体，从中体会到这些找到的空间几何体的外接球问题都可以化归转化到长方体的外接球，从而用公式解决，注意在这个过程中，老师要引导学生总结出能够转化为长方体的外接球的几何体的特征，以便于学生在具体题目中识别。接下来通过变式的形式从长方体到直棱柱，再到有一条棱垂直于底面的棱锥，形成一个通用的外接球半径计算公式：

例2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的半径为  

变式：正四面体的各条棱长都为，则该正四面体的外接球半径为        

设计意图：直棱锥（正棱锥）作为一类常见的空间几何体，在高考中经常出现，可以统一化归为圆锥模型，建立统一的外接球半径求解公式：,特殊的正四面体也可以转化为正方体的外接球，体现了特殊与一般的关系.

(四)课堂练习

1.已知三棱锥中，,,两两垂直，且,,，则三棱锥的外接球的半径为       

2.在四面体中，若，则四面体的外接球的半径为        

3.已知，⊥平面，若，则四面体的外接球的半径为        

4.已知正四棱锥(底面四边形是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为，则此球的半径为       

设计意图：通过练习巩固例题所学的知识与方法，练习中都没有给出图形，也是希望通过练习训练学生的画图能力.

（五）课堂小结

知识：长方体（正方体）的外接球半径求解公式、直棱柱、一条侧棱垂直于底面的棱锥、直棱锥（正棱锥）的外接球半径求解公式

思想方法：转化为基本几何体的外接球进行求解

设计意图：引导学生从知识层面、方法层面进行课堂小结，梳理本节课的主要内容，体会转化与化归思想在求解空间几何体外接球问题中的作用.

四、反思与不足

本节课的设计紧扣长方体（正方体）模型、直棱柱模型、正棱锥模型的外接球的球心位置的确定和半径的计算公式展开，将其他常见的几何体的外接球转化为这三种模型来加以解决，体现了转化与化归思想中的化复杂为简单、化未知为已知、化陌生为熟悉的基本原则，极大地降低了对空间想象能力的要求，学生对常见的几何体的外接球问题基本能够解决，增强了学生的学习兴趣和自信心。有了模型化的思想之后，学生学习的难点变成了对空间几何体结构特征的分析，只有充分地认识清楚几何体的结构特征才能将其转化为恰当的模型，而分析几何体的结构特征有赖于前一节《空间几何体》以及后面关于空间中平行、垂直关系的分析，所以外接球问题是一个综合性的问题，这节课研究了知识和方法，要形成能力还需要进一步的学习和练习。

由于本节课重点在于引导学生通过转化与化归思想将外接球问题模型化，降低了对空间思维的要求，所以在培养空间想象能力方面的作用略有欠缺，如果本节课从外接球的定义出发，侧重于应用球的性质来确定球心的位置，那么在空间想象能力的培养方面应该会更有优势，当然也对学生的空间想象能力提出了更高的要求，我想我们可以根据学生的实际情况选择恰当的入手点和侧重点，以期望达到更好地教学效果。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 章建跃，李增沪.普通高中教科书数学必修第二册（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019.