一、“双减”政策

当前义务教育所面临的问题, 一方面是学生的家庭作业、课外训练的超负荷学习, 导致学生的学习负担重, 学生的心理压力问题得不到根本解决; 另一方面是家长的经济、精神压力较大, 从而极大地影响了教育改革的发展。因此, 为了保护学生的身体健康, 减轻学生的作业负担, 国家提出了 “双减” 政策, 并提出 “五育并举”, 使学生德智体美劳全面发展, 将学生培养为社会主义的建设者和接班人。学校要减轻学生的作业量和减短完成时长，杜绝出现机械的、无效的、重复性的、惩罚性的作业。

二、当前作业布置存在的一些问题

通过对学生进行调研，不少同学认为大部分数学老师的作业较多，并且认为数学只要多做题就能成绩好。做的多自然就会了。有一部分同学觉得老师布置的有些作业是重复的作业，机械地刷题，有点浪费他们的时间。

三、改编教材习题具体案例

随着“双减”政策的落地，如何做到既减轻学生过重的课业负担，又能课堂上的知识得到最大限度的巩固，保证教学效果。 教师需要精选作业习题，根据不同的学生采用基础、变式、拓展等练习模式来设计作业模式。

    基于这些原因，要求老师要提升自己的业务能力，认真钻研教材和课程标准，充分发挥教材的作用，同时根据教材改编和原创一部分习题，对于学生的学习大有裨益，下面就剖析几个改编教材（原创）习题的案例。

例题1（[1]人教版七下第八章102页第9题）某家商店的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元。这个记录是否有误?如果有误，请说明理由.

解：设牙刷每支x元，牙膏每盒y元，由题意可得：

由于，故无解，即有误。

分析：例题1是考察二元一次方程组什么时候有唯一解；什么时候有无数个解；什么时候无解。虽然教材上面没有单独拿出来讲，也没有单独成为一节教学内容出现，但是在习题里面出现了，那么就有必要向同学们讲清楚，否则一知半解，不利于同学们的学习。从形的角度来看，一个二元一次方程对应一条直线，二元一次方程组有没有解的问题对应两条直线的位置关系问题，是学生高中数学直线方程的重要知识点，如果这里没学好，不利于学生的后续学习，缺乏可持续发展能力。

例题2（[1]人教版七下第八章112页第9题）现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元，1角、5角、1元硬币各取多少枚?

解：设1角的硬币x枚，5角的硬币y枚，1元的硬币z枚(x,y,z均为自然数)，由题意可得：

，解得

因为x,y,z均为自然数，所以且z+1是4的倍数，所以。

分析：例题2是考查不定方程组的解法。而不定方程的常见解法，（1）确定未知数的范围，一般来说，哪个未知数的系数大，就确定它的范围；（2）结合整除性和奇偶性进一步缩小范围；（3）最后利用小范围的枚举法锁定答案。不定方程，既然出现在教材的课后习题之中，有必要向同学介绍，在长沙市的中考中有过类似的问题，同时它对培养学生的数学核心素养，提升学生的数学思维能力有一定作用，因此学生必须弄懂此类问题。

下面分析两个教材改编和原创习题。

（[2]原创题1）在学习了有序实数对后，类比有序实数对的结构，我们将(x,y,z)称为三元有序实数组，同时定义新的代数式为三元有序实数组(x,y,z)的一个线性组合。例如，如果,那么。

(1)满足条件的线性组合          .(填“存在”或“不存在”或“不确定”)

(2)如果,求的表达式.

(3)是否存在以为自然数的三元有序实数组(x,y,z)的一个线性组合，同时满足和,如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由 .

解：（1）由 得，即，故不存在。

（2）由得，即，故。

（3）由和得，，解得因为a,b,c均为自然数，所以且c+1是4的倍数，所以。

分析：本题第1问就是来自上面的例题1，教材的习题改编，仅仅只改变了一个数字，把518改为了532。当然它的包装的外衣也不一样了，也就是常说的出题背景不一样了，它对学生的抽象思维能力要求较高一点，但是脱掉巧妙的“外衣”研究其本质一模一样，是一道很好的改编习题。第2问当然是考查三元一次方程组的解法，只是用了新定义来掩盖本质而已，考查学生的转化能力。第3问则是巧妙的利用了新定义的线性组合概念，将不定方程组的解法融入其中，看上去和不定方程无关，其实和上面的例题2如出一辙，可以说就是同一个题目。该题是很好的一个改编习题。

（[3]原创题2）新定义：若方程组的解是，则称是方程组的“解点”.如果两个方程组的“解点”在平面直角坐标系中关于y轴对称，那么我们称这两个方程组互为“H方程组”.例如，方程组的解点是，方程组的解点是，因为点与点关于y轴对称，所以我们称方程组（1）与方程组（2）互为“H方程组”.

(1)下列与方程组互为“H方程组”的是               .

① ;     ②  ;     ③.

（2）方程组（Ι）的解点在第三象限，且与方程组（II）互为“H方程组”，求m的取值范围.

（3）方程组与方程组互为“H方程组”，求正整数的值.

解：（1）②

（2）设是方程组（Ι）的解点，则是方程组（II）的解点，

  由题可得，解得

因为在第三象限，所以即解得。

（3）解方程组得，则解点

解方程组得，则解点，

因为方程组与方程组互为“H方程组”，

所以，即

解得因为a,b,c均为正整数，所以且c+1是4的倍数，所以。

分析：本题是一道新定义题目，第1问就是考查方程的解问题，直接解方程，验证结果而已，但是在新定义的外壳下，又考查了学生的理解能力，是很不错的设问。第2问原创的漂亮，我们平时在很多参考资料上，会有方程组之间的问题，例如同解问题、错解问题、污染系数等问题，这个第2问，还是考查上面问题的方法，但是给人感觉更新颖，当然方法也不唯一，让同学们活学活用，死记硬背老师的题型，没得用。第3问，剥开新定义的外衣，其实还是上面的例题2，一模一样。教材上的一个习题，只要钻研，它可以以不同的形式展现或出题，所以要认真研究教材，搞懂弄透，否则，同一个习题换个形式还是不会，这就是双减背景下，不要盲目刷题，要认真钻研教材。

以上两个原创题，只是一个引子，同时也是新定义问题中的一些常规的题目，通过利用新定义对平时同学们做好的一些常规的习题进行巧包装，考查学生的阅读能力和对知识的转化能力，对提升学生的数学核心素养有一定的帮助。因此，在双减背景下，数学教师必须要钻研教材，充分发掘教材，改编或原创一些教材的习题，帮助同学们举一反三，那么老师自己的数学素养和研究能力也必须得到提升，把一题多解和一题多变渗透到平时的常规的教学中。这篇文章只是两个案例，教材中还有许多值得我们研究发现。

参考文献

[1].2013年人教版七年级下册教材。

[2].2023长郡梅溪湖第一次集中作业。

[3].2023长郡梅溪湖第三次集中作业。

[4]. 朱瑞 向深晴 崔胜兰.“双减”背景下初中数学分层作业设计的策略研究[J]《数理化天地》初中版.2024.6(上)45-48

[5]. 孟迪.聚焦“双减”提高课堂教学效率[J]一线风采87-90.

作者简介：李理 1984年12月12日 女 湖南岳阳 汉族 硕士研究生 中学二级研究方向:初中数学教学