立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的重要分支^[1]，是高中数学的重要内容，也是高考的必考题型．高考中以简单几何体或不规则几何体为载体，关注于空间几何体中线面平行或垂直等位置关系的论证，以及空间角或距离的求解，考查考生的直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养．本文以2023年新高考全国II卷第20题立体几何问题为例，从几何法、向量坐标法、向量基底法三个角度探究本题的多种解法，体会不同方法蕴含的数学思想方法，在实际解决问题时拓展思路．

题目 如图1，三棱锥中，，，，为中点．

（1）证明：；

（2）点F满足，求二面角的正弦值．

图1

解： （1）连接，因为为中点，，所以，因为，，所以与均为等边三角形，所以，从而．，平面，所以平面，而平面，所以．

（2）从几何法、向量坐标法、向量基底法三个角度探究本题的多种解法．

1、几何法

几何法主要借助对立体图形的分析，在头脑中构建几何模型来解决问题，着重培养直观想象、逻辑推理等核心素养．本题求二面角，二面角的大小需用它的平面角来度量．根据定义，首先在两个半平面内作交线的垂线，准确找出二面角的平面角，再将其放到相应三角形中利用余弦定理等公式计算求解．

解1： 取中点，中点，连接如图2．则，．

图2

设，则，因为得，．

所以，可得．所以，得．即为二面角所成的平面角．因为所以．由可得．

所以二面角的正弦值为．

2、向量法

空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具^[2]．向量让几何量带上了方向，并用统一的符号表示，因此向量运算既是几何的运算也是数的运算．用空间向量解决立体几何问题，首先用空间向量表示立体几何问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；然后通过空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后将运算结果“翻译”成相应的几何结论^[2]．

2．1坐标法

建系，求坐标，进行向量运算是坐标法解决立体几何问题的基本流程，着重发展学生数学运算的核心素养．坐标法因其思路清晰，推理简单，更容易被学生在解题时接受使用．通过判断图形中的垂直关系，建立合适的坐标系，是坐标法的前提，也是解决问题的关键．本题的建系就需先通过几何法找到垂直于底面的直线作为轴，轴与底面的交点作为坐标原点进行建系．

解2： 连接，设．

，得．

所以，则，又，平面，所以平面．

以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图3所示的空间直角坐标系：

图3

可得，则

设平面与平面的一个法向量分别为，

二面角平面角为，

因为，所以，即有，

，取，所以，

，取，所以，

所以，，从而．

所以二面角的正弦值为．

2．2基底法

相比于坐标法，基底法更能体现向量运算的实质，能引导学生理解向量基本定理的本质．通过观察分析立体图形，选取合适的基底，把其它向量用基底来表示，最后进行基底运算．基底法涉及到向量的表示与转化，也离不开对图形的观察，其思维层次要高于坐标法，更加提升学生直观想象、逻辑推理素养，基底法有利于实现几何法到向量法、坐标法到几何法的过渡^[3]．

解3： 以作为基底，其中与，与夹角为，，

设．取中点，连接如图4，

图4

则．为中点，

则，．，可得，

因为则，所以．

即为二面角所成平面角

，，

．

故二面角的正弦值为．

通过比较，几何法与向量法尽管分析问题的角度不同，但还是存在着内在的联系．本题中坐标法的建系、求点的坐标就离不开几何法的帮助，并且几何法功底的强弱也会直接影响向量法的运用和发挥．教学中对于几何法和向量法不能顾此失彼，方法不同蕴含的数学思想方法不同，在提升学生核心素养方面也各有侧重．应引导学生平时训练时使用多种方法并进行比较，总结规律，因题而异灵活运用，提高解决问题的能力．

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］．北京：人民教育出版社，2020．

[2] 章建跃，李增沪．普通高中教科书·数学·选择性必修·第一册［M］．北京：人民教育出版社，2019．

[3] 吕增锋．例谈向量法解立体几何题的三大"歪招"[J]．中学数学研究，2014，000(004):34-36．