来源：省级大学生创新创业训练计划项目

（项目编号S202310380103）安徽省高等学校科学研究项目（项目编号:2022AH051727）

Developable Surface Family Interpolating A Common Smarandache TN Asymptotic Curve

LI Jing   JIANG Yu-hang   LI  Jia-heng   LI Zhao-wei

(School of Mathematics and Big Data, Chaohu University, Chaohu Anhui 238024)

Abstract Developable surfaces are often encountered in surface modeling, and they can be flattened into a plane without stretching or tearing. This “developability” has great potential in daily life and industrial manufacturing. The Smarandache curve is an important research object of Smarandache geometry, which has a wide range of applications in physics and engineering. The asymptotic curve is an important characteristic curve on a surface. A developable surface family interpolating the Smarandache TN curve as their common asymptotic curve is constructed. By deducing the transition matrix between the Frenet frame of the given curve and the Frenet frame of the Smarandache TN curve, and using sufficient and necessary conditions for a developable surface family to interpolate the asymptotic curve, we provide an expression for a developable surface family interpolating the Smarandache TN curve as its asymptotic curve. Finally, an example is provided to verify the feasibility of this proposed method.

Key words  Developable surface; Smarandache TN curve; Asymptotic curve

基金项目：省级大学生创新创业训练计划项目（项目编号：S202310380103），安徽省高等学校科学研究项目（项目编号：2022AH051727）

1 引言

可展曲面可以在不拉伸、不撕裂的情况下展开成平面，这一特性使其广泛应用于许多由不可拉伸材料(如皮革、纸张和金属板)制成的产品的制造中。在计算机辅助几何设计领域，可展曲面的构造是一个热点问题。目前主要有三种构造方法:点几何方法^[1,2]，点面对偶基方法^[3,4]，以及具有一定几何约束的构造法^[5-7]。

测地线、曲率线和渐近曲线是曲面上三种至关重要的特征曲线，它们对曲面的几何性质和曲面的形状起着决定性的作用。上文所提到的可展曲面的第三种构造方法正是插值给定曲线为特征曲线逆向构造可展曲面束的方法。与之相关的研究成果有：Zhao等^[5]首次提出了插值给定曲线为公共测地线逆向构造可展曲面束的方法，他们依据直纹面方程的特殊表达形式修改曲面束的尺度函数，再结合直纹面是可展曲面的充要条件，得到了当给定曲线为可展曲面束上公共等参测地线时，尺度函数需要满足的充要条件；刘羽等^[6]给出了插值任意曲线为公共等参渐近曲线逆向构造可展曲面束的表达式；李彩云等^[7]利用给定曲线为公共等参曲率线逆向构造了可展曲面束。

考虑两条曲线对应点的Frenet标架之间的关系是微分几何中曲线理论的一个重要问题，例如Mannheim曲线和Bertrand曲线，渐开线和渐屈线都是由这种关系生成的。受已有成果的启发，M.Turgut等^[8]提出了一类新的特殊曲线——Smarandache曲线，它是由另一条正则曲线的Frenet标架构成的。Smarandache曲线分成三种类型：Smarandache TN曲线，Smarandache NB曲线，以及Smarandache TNB曲线。Smarandache曲线是Smarandache几何的重要研究对象，由于Smarandache几何研究的是非齐次空间，所以它被广泛应用于物理和工程中。近年来，欧氏空间和非欧氏空间中的Smarandache曲线是许多专家学者研究的热点。A.T.Ali^[9]提出了三维欧式空间中Samarandache曲线。Ö.Bektas^[10]和M.Cetin^[11]分别利用Bishop标架和Darboux标架研究了三维欧式空间中的Smarandache曲线。H.S.Abdel-Aziez等^[12]给出了三维Galilean空间中的Smarandache曲线。G.S.Atalay和E.Kasap^[13-16]分别利用Frenet标架和Bishop标架构造了插值Smarandache曲线为公共渐近曲线和公共测地线的曲面束。然而，对于Smarandache曲线的相关研究并没有扩展到可展曲面束的构造上。因此，本文给出了插值Smarandache TN曲线为公共渐近曲线的可展曲面束的具体表达式。

在第二部分，首先介绍插值公共渐近曲线的可展曲面束的具体表达式，以及三维欧氏空间中Smarandache TN曲线的定义。在第三部分，给出了曲线的Frenet标架与其Smarandache TN曲线的Frenet标架之间的过渡矩阵。在第四部分，给出了插值Smarandache TN曲线作为渐近曲线的可展曲面束的具体表达式，并通过一个例子，验证了该方法的可行性。

2 预备知识

给定曲线，其中s为该曲线的弧长参数，

， ， ,               （1）

分别称为曲线的单位切向量、副法向量，以及主法向量，其中“·”表示曲线对弧长参数求导^[17].构成了曲线的Frenet标架，记作，并且满足

                   （2）

上式称为曲线的Frenet公式^[17]，其中分别为曲线的曲率和挠率，它们的计算公式为^[17]

                 （3）

对于曲面上的曲线，如果它上面每一点的切方向都是渐近方向（即法曲率为零的方向），则称该曲线为渐近曲线^[17].沿着渐近线，曲面的高斯曲率是非正的，这是渐近曲线所具备的一个重要的内蕴几何特征^[6]．

推论1^[6] 插值给定曲线为渐近曲线的可展曲面束可以表示为

          （4）

其中为任意实数,称为可展曲面束的控制函数.

定义1^[8] 曲线的Smarandache TN曲线为

，                 （5）

其中为曲线的弧长参数.

3  Smarandache TN曲线的Frenet标架

本节将推导给定曲线的Frenet标架与其Smarandache TN曲线的Frenet标架之间的关系式.

首先，由（1）、（2）式得

，

因为，所以

，                     （6）

所以

.                    （7）

其次，根据（2）、（6）式得

其中

又因为

所以由（1）式，得

.            （8）

最后，根据（1）式得

（9）

综合（7）、（8）、（9）式得到如下定理

定理1 给定曲线的Frenet标架与其Smarandache TN曲线的Frenet标架之间的关系式为

其中

   .

4 插值Smarandache TN曲线为公共渐近曲线的可展曲面束

本节将给出插值Smarandache TN曲线为公共渐近曲线的可展曲面束的具体表达式.

定理2 插值Smarandache TN曲线为公共渐近曲线的可展曲面束为

  （10）

其中，称为可展曲面束的控制函数.

证明 将（5）、（7）式代入（4）式，得

整理后得（10）式.

实例 给定曲线

，

根据（1）、（2）式计算出该曲线的Frenet标架，以及曲率和挠率，并取，代入（10）式得插值其Smarandache TN为渐近曲线的可展曲面，见图1，图中红色曲线为Smarandache TN曲线.

图1 插值Smarandache TN曲线的可展曲面

5 结论

本文通过计算给定曲线的Frenet标架与其Smarandache TN曲线的Frenet标架之间的过渡矩阵，提出了插值Smarandache TN曲线为渐近曲线的可展曲面束的构造方法，并将该可展曲面束表示为给定曲线的Frenet标架的线性组合的形式，构造方法操作简单，且可行性强. 另外，从定理2中可以看出，在不同的控制函数下，可展曲面的形状会有所不同，因此该构造方法还具有很好的可调节性. 在未来，我们将继续讨论Smarandache NB曲线以及Smarandache TNB曲线作为公共渐近曲线构造可展曲面束的构造方法.

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