《义务教育数学课程标准（2022年版）》^[]中指出认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式，在教学中应该鼓励学生通过观察、猜测、实验、计算、推理、验证等等方法去分析和解决问题。在课程标准中，明确把实验作为初中数学的一种研究方式，就像著名数学家欧拉所言：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。什么是数学实验和数学实验教学呢？

1.数学实验教学分析

卜以楼指出数学实验是研究与获得某种数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题的一种教学方法，是在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动。^[]根据教学内容将数学实验融入课堂，学生运用有关工具动手、动脑“做数学”，用实证方法发现和验证数学结论，关注数学知识生成的数学实验教学引起了很多专家和教师的研究兴趣。

笔者认为新课程改革后，初中数学知识更加聚焦于生活，聚焦基本活动经验的积累。数学具有抽象性，而这个年龄段很多学生的思维能力不足以帮助他们实现数学知识的转化，对许多知识的理解还需要借助实物模型，所以根据某些课堂教学的具体内容决定相应的数学实验教学是非常有必要的。数学实验教学整体流程应该是动手实验，形成数学猜想，进行数学证明，得到数学定理。实验教学虽然是以学生“探”为主，但是也需要教师创设实验平台，仍然需要发挥教师“导”的作用，从“探”和“导”两条线入手进行数学实验教学设计，才能充分实现数学实验教学的价值，充分发挥学生的主观能动性。

2.数学实验教学的“探”

数学实验是需要学生动脑的，比起所得到的结论，更为重视知识获得的过程和方法，注重在实验过程中培养探究能力，在实验过程中激发学生学习数学的兴趣，使得数学知识由抽象化为具体呈现在学生面前，让学生油然接受和理解知识。数学实验中学生“探”在前，也是这一种教学中占据主体的部分，在进行数学实验教学设计时需要关注实验过程的设计。

2.1“探”寻学科价值——数学思维的锻炼与培养

数学学科价值在于对思维的锻炼与培养，所以在数学实验中，学生“探”的过程应该是锻炼思维的过程，是兼顾手脑的思维活动，是数学思维锻炼与培养的过程，而非教师按照固有思路设定好的机械操作，所以当前的数学实验教学不仅需要关注实验本身的合理性，也要关注实验所蕴含的学科价值。如果提供给学生该怎么做，无疑能够得到最标准的结果，但是学生在这个过程中就会出现依葫芦画瓢，尤如提线木偶，缺少对学科价值的探寻与生成过程，从而失去了数学实验教学的本意。

在三角形的内角这一节内容中，人教版八年级教材提供了如下数学实验的教学素材：

在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角，从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？

这样的实验设计目的是让学生通过实际操作来发现三角形内角和，从操作过程中启发证明思路，这样的方式由操作到结论和证明，能够帮助学生探究，加深对知识的理解，相比“灌输式”讲授和“指令性操作”更适合培养学生的思维。而在这个实验里，如果学生单纯为了题意得到平角，那么会出现很多种情况，拼角只是一种简单的操作，但是在操作中到底选择哪一种情况才能找到证明思路，就对学生的思维能力形成了一种考验。题目表述得非常清楚，操作——剪下内角拼合，目的——得到平角。学生在实验过程中，都能把内角放到一起，而不论怎样放置，三个内角的和一定是180°，所以能够得到猜想：三角形的三个内角和是180°。在实验过程中，还不应该忘记实验的目的是为了定理证明，学生还需要从实际图形中发现旧知，寻求到证明思路。

如图1和图2的拼法，虽然达到题目的要求得到平角，却无法轻易启发证明思路，此时需要学生思维灵活变化，将角的位置进行一定的变化，如图3和图4。

该类型的数学实验中，数学价值体现在将实物模型转化为几何图形，并进行相应的猜想证明，拼角的实验过程是形成辅助线的关键，是设计整个数学实验的目的。通过三角形内角和实验的操作，学生的收获不应该只局限于发现结论，学会证明定理，还要初步体会由实物到数学模型的分析过程，积累基本活动经验。

数学实验教学的“探”要从数学本身出发，不论通过何种实验手段进行，都应该重视数学学科价值在其中的渗透，挖掘每个实验的价值所在，帮助学生形成属于自己的活动经验。

2.2“探”要指向问题本质

数学实验教学并非让学生随意发挥，它应该是一种形散神不散的教学，始终要指向问题本质，实验只是表征，发现数学结论、证明数学结论才是本源，所以“探”的过程要围绕问题本质，这一步同时也需要教师发挥“导”的作用，需要通过问题来提醒学生直逼问题本质。

在拼角的过程中，方法是不唯一的，而学生的“探”是能够启发证明的几种拼法，题目本身已经启发了拼成平角，这是在帮助思维水平不高的学生进行建构，也有部分学生能够以此出发拓展思维，平角就是为了得出180°的结论，那么不论如何转化，只需要出现能进行证明的180°就能验证想法，利用旧知，与180°相关的知识除了平角还有平行下的同旁内角，从而得到了新的证明方法。思维可以再次突破，再将三个内角位置都进行变化，如图5，启发学生思考证明。

图5

不论是哪种拼合方式，都需要学生体会到本质在于提炼一种数学辅助线模型，将三角形的三个内角转化到一起构造180°，从实验过程中发现不论方法怎么变化，都需要添加平行的辅助线，利用平行中相等的角帮助转化内角的位置，从而去证明三角形内角和的猜想。

所以数学实验教学的“探”需要直击问题本质，实验中要引发学生对于数学问题本质的思考，实验中应该蕴含数学知识的内核，体现严谨的数学逻辑，注意数学模型的渗透，强化思维训练，才能达到实验教学的目的。

2.3“探”要进行分析整合

数学实验课也是一节数学课，必要的收放也应该包含在内，为什么要进行实验？实验后得到了怎样的验证思路？这些问题都需要进行分析和整合，在“探”前，学生应该体会实验为了什么，在“探”后，学生应该自主整理实验得到了什么，以充分调动学生的积极性，加深对整个实验教学目的和结果的理解，当然，分析整合的过程也不应由教师包办，要让学生尝试，反馈出真实的实验效果。

在三角形的内角这一节中，明明学生在小学都已经知道三角形内角和是180°，甚至已经运用在了题目当中，为什么初中阶段又重新学习呢？所以开始都会有这样的引入“小学时我们是如何探索三角形三个内角的和是180°的”？经过几何初步学习，学生基本上已经知道证明的必要性，小学阶段都是度量、剪拼的方式，都存在一定的误差，数学定理必须经过严格证明才能使用，所以分析本节课的意义就是证明，学生才会带着证明的目的进行操作，整个实验过程才不会一团散沙。

在拼角实验结束后，根据学生思维能力的不同，会出现多种添加辅助线的思路，甚至会出现一些错误的情况，学生经历了探索实验的过程，可以由学生来尝试证明，将不同的证明方法整理后呈现出来寻找共同点，可以更加突出问题本质。

在“探”中插入分析整合的过程能够将教学本质从活动中独立，避免过度活动化，能够将实验转变为数学思维活动，突出数学知识内核，回归问题本质，强化数学实验教学的目的。   

3.数学实验教学的“导”

一切的教学设计都是为了学生理解掌握知识，培养能力服务，数学实验教学应该有别于传统的教学模式，以学生“探”为主体设计课堂，但是又不能失去学科色彩，为了避免课堂表面热闹，过度形式化，这就必须要有教师“导”的行为加入，教师要充分发挥主导作用，为数学实验教学创设必要的条件。

3.1“导”要充分预设

新课程改革后，教师在课堂中的角色定位逐步转变为引导者、组织者，但其在各类课堂中的重要作用仍然不能忽视。数学实验教学是为了将抽象化知识变得具体化、可视化，如何将发现和探索知识的过程以合理的实验方式展现出来，就需要教师在实验前对实验进行充分分析，把握住实验价值和本质，结合班情学情进行充分预设。

在三角形的内角这一节中，教参教辅中的图示几乎都是类似的，将三角形三个内角分开的都是曲线，是为了避免角的误会。教师在准备教具或者提出要求的过程中，应该提前要求学生标注出三个内角，或者直接撕开。如果按照直线剪成三部分，那么会形成更多的角，在实际操作过程中，学生不容易分清到底哪三个角是三角形的内角，实验操作很难继续进行下去，很难顺利完成教学目标。

三角形内角和证明需要学生从实验的实物模型转变到几何图形中，尤其是如何添加辅助线，属于比较抽象的知识，学生想要顺利从拼角过程中得到思路，需要仔细观察图形的变化，如果在预设时，给学生原本三角形的参照图，观察在拼角过程中三角形发生了何种变化，更容易引导学生添加平行线，进而发现不同的证明方法。

和常规教学一样，教师的预设是保障课堂顺利进行的基础，在数学实验教学中，教师充分预设，利用好情境创设，不仅能顺利开展实验活动，为学生发现结论并证明提供外部条件，而且有利于激发学生的数学学习兴趣，充分发挥学生的主观能动性。

3.2“导”要重视生成

课堂瞬息万变，学生们有自己的思维，再充分的预设也无法包揽所有的问题，所以教师要提高自身专业素养，及时关注并解决数学实验教学过程中出现的问题。数学教学有不同的模型和模式，无论哪一种教学都不能忽视学生生成的问题，解决好生成问题，能够让一节课更加生动，让学生对知识内容理解更为充分。

三角形内角和证明所涉及到的拼角实验有很大的自主发挥空间，实验要求拼出180°即可，所以还会有学生出现折叠的可能，如图6，教师也要给予肯定，可以反问学生是否能启发证明思路，借此突出实验目的。学生已有的水平不能通过折叠进行证明，教师要采取肯定式的点评，并指出在以后学习了新的几何知识（全等三角形及轴对称等内容）后，也能说明它的合理性。

4.结语

    数学实验教学中，既需要引导学生自觉探寻、探究，也需要教师及时介入指导、疏导、引导。学生的“探”与教师的“导”彼此并不割裂，也不独立、孤立。“探”“导”之间转换也没有明确的界线与分野，学生“探”中需要教师适时的“导”，教师“导”时需渗透“探”的元素。学生“探”是主体，教师“导”来辅助监督，把握探索过程中的学科价值，凸显问题本质，适当分析整合，能够有效帮助学生合理进行操作探究，确保数学实验起到思维锻炼的作用，激发学生学习兴趣；同时关注教师引导作用，课前充分预设课堂情况，课中关注课堂生成，给予学生鼓励与点拨。沿着“探”和“导”两条主线把握数学实验教学，能够充分发挥该种教学模式的作用，实现过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实的统一。

数学实验教学有效设置学生“探”与教师“导”环节，实践“探”“导”结合，能够弥补传统教学模式的不足，发展学生操作能力，将数学抽象知识直观展示出来，锻炼和培养学生的思维。在初中几何学习的关键期实施“探”“导”教学，符合学生认知发展特点，对于数学实验教学具有极大的研究价值。

参考文献：

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