在控制系统进行闭环反馈控制时，系统中不可避免的存在时滞，而且时滞现象的存在会在一定程度上影响受控系统的稳定性。时滞系统广泛存在于各个工程领域，因此吸引了众多学者的关注。数字采样反馈控制系统相比连续反馈控制系统的实时跟踪性会相对弱化，因为采样信息的控制率计算时信息有所缺失，数字采样反馈控制系统的稳定性区域是要小于连续反馈控制系统的稳定性区域。但数字采样控制系统在基于多个不同时刻采样信号所构造的控制率能够利用系统状态更多的信息量，在一定程度上能够改善受控系统的稳定性。

主动时滞反馈的研究逐渐被应用在实际工程中，近年来众多学者在控制器的设计时引入了主动时滞反馈，可以在一定程度上取得比较好的控制效果。文章[5]证明了，在数字采样反馈控制系统中分析稳定性区域时，当控制系统的位移采样反馈信号滞后于控制系统的速度采样反馈信号时，受控系统的稳定性区域增大，采用此反馈控制器的受控系统中的时滞项就变成了有利因素，同时此反馈控制器也改善了受控系统的控制效果。

文章以某型动车组转向架为研究对象，采用数字采样反馈控制器，在控制器中引入主动时滞项，减弱数字反馈控制系统中系统固有延时给受控系统带来的不利影响。应用定积分判别法以时滞项作为分析参数，分析转向架控制系统的稳定性，求取受控系统的时滞参数稳定性区域。

1 转向架控制系统模型

机车转向架采样反馈控制系统由速度传感器，位移传感器，系统控制器和机车转向架组成，如图1所示。此转向架数字采样控制系统在采样和数据处理模块的固有延时基础上主动引入时滞控制项，采用位移采样反馈信号滞后于控制系统的速度采样反馈信号一个时滞周期的控制模型，控制器所输出的PWM控制信号为不同步延时信号。

图1  受控系统Eq.(4-13)的不稳定个数

以转向架为研究对象，由牛顿第二定律可得到运动方程为：

                                  (1)

在一个信号控制周期内，假设转向架控制系统的速度和加速速度不变，控制器首先将受控系统所受到的空气阻力和轮轨阻力补偿，此时受控系统的合力外力，为系统控制器的输出控制量，为某型动车组转向架质量，此时令，，。记受控系统的速度和位移传感器采样周期均为，则在采样时刻时，控制系统的控制器需要计算的速度控制率为系统采样时刻的控制信号，位移控制率为系统采样时刻的控制信号，这样条件下本文可以建立转向架系统受控模型为一个单自由度时滞微分方程为：

，              (2)

这样转向架数字控制系统的稳定性就可以通过上述时滞微分方程的稳定性来确定。通过Laplace变换，得到转向架控制系统的特征方程，其特征函数为：

                       (3)

受控系统为参数固定的时滞微分系统，系统的参数是满足强稳定性条件，应用定积分判别法能直接计算出受控系统在时滞参数下的不稳定根个数。

2 定积分判别法的参数独立积分上限

在应用定积分判别法时，首先使用临界参数寻找积分上限。当时滞参数变化时，需要重复求取和参数相关的临界积分上限，文章引入参数独立积分上限，寻找和受控系统的时滞参数无关的积分上限值。此受控系统的特征方程的特征根不位于虚轴上，这样受控系统存在与时滞参数无关的积分上限常数。系统的特征方程的最高阶数。在复平面上，将受控系统的函数图像顺时针旋转度。可得到函数实部的下界函数的形式如下：

                               (4)

当控制器中速度采样反馈系数和位移采样反馈系数变化时，下界函数的最大正实部根即为定积分判别法的独立积分上限值。

3 反馈信号时滞参数分析

转向架采样反馈系统满足强稳定性条件，采用时滞参数无关的独立积分上限值，通过定积分分判别法计算此时滞微分方程的特征方程的不稳定根的个数会得到一个常数值。进一步通过取整的方法来最终得到此采样反馈系统的的特征方程的不稳定根的个数：

                        (5)

其中是时滞微分方程的特征方程的最高次阶数，此时。当根据公式(5)所求得的不稳定根个数时，转向架采样反馈系统在时滞为时渐近稳定；当所求得不稳定根的个数时，此转向架采样反馈系统在时滞为时不稳定，控制系统以指数形式发散。

采用高斯自适应积分求取位移采样反馈系数变化时，主动延时控制时间为0-0.1s内，转向架采样反馈控制系统的稳定区域即系统不稳定根个数的区域，如图2所示：

图2  受控系统时滞稳定性区域

当速度采样反馈系数固定，位移采样反馈系数增大时，转向架采样反馈系统的主动延时控制的时滞稳定区域会增大，最后在延时时间为0.1s时控制系统也呈现稳定状态。

采用高斯自适应积分求取速度采样反馈系数变化时，主动延时控制时间为0-0.1s内，转向架采样反馈控制系统的稳定区域即系统不稳定根个数的区域，如图3所示：

图3  受控系统时滞稳定性区域

当位移采样反馈系数固定，速度采样反馈系数增大时，转向架采样反馈系统的主动延时控制的时滞稳定区域也会增大，但是在速度采样反馈系数小于40时，控制系统一直是不稳定的。在速度采样反馈系数增加到70以后，转向架控制系统的时滞稳定区域趋于恒值，不再增加。

4 结论

在转向架数字采样反馈控制系统中，引入主动延时控制，受控系统存在时滞稳定区域。可以说明在控制系统中主动采用延时控制在一定程度上使受控系统稳定。但是时滞稳定区间会根据控制参数的变化产生变化，在实际控制应用中需要根据控制参数来调节延时控制的时间，并且在延时控制时，不能延时周期太长，这样的控制系统的控制率便不存在意义。

参考文献: 

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[8] Tamás Insperger, Milton J , Gábor Stépán. Acceleration feedback improves balancing against reflex delay[J]. Journal of The Royal Society Interface, 2013, 10(79):20120763.