随着计算机控制技术，信号存储技术和离散控制理论的飞速发展，传统模拟控制技术逐渐转变为全数字化控制。这种新兴主流控制技术的数字控制系统具有高可靠性，非常好的动态性能，超强抗干扰能力等特征。数字控制技术核心是由计算机完成采样信号、数字化信号和控制律信号的计算，然后向控制系统的作动器提供离散信号输入来对系统进行反馈控制。当由计算机为核心的数字控制系统进行闭环负反馈控制时，控制系统中的采样环节，滤波环节和输出环节等均不可避免的存在时滞^[4]，而且这种信号时滞现象在一定程度上会影响整个数字控制系统的稳定性。

当动力学系统中引入全数字控制时会变成一类混杂的动力系统，这个受控系统不仅有连续控制系统的一些特点还具有离散控制系统的特征，但是此控制系统既不属于纯连续系统也属于纯离散系统。传统的纯离散系统和纯连续系统的分析方式都存在一些偏差。

本文以某型动车组转向架数字控制系统为对象进行稳定性分析。文章在处理全数字控制系统的时滞问题时，将受控系统利用零阶采样保持器所得到的转向架速度反馈信号看作用Euler格式将连续状态的动力学时滞微分方程转化为相应的差分方程进行分析。受控系统的时滞微分方程所对应的差分方程稳定性即为此时滞系统的零解稳定性。

1 转向架速度反馈控制模型

机车转向架速度反馈控制系统由速度传感器，PI控制器和转向架组成，如图1所示。此数字控制系统中采样模块，滤波模块和数据处理模块均会产生固有延时，忽略PI控制器PWM输出电压不同步的问题，此时PI控制器所输出的PWM控制信号为同步延时信号。

以转向架为研究对象，由牛顿第二定律可得到运动方程为：

                              (1)

在一个信号周期内，系统的速度和加速速度均为恒值，此时采取补偿方式使系统所受到的空气阻力和轮轨阻力的合力外力，为PI控制器的输出量，为转向架质量，且，，。设速度传感器采样周期为，则在采样时刻时，PI控制器的控制率为前一采样时刻的控制信号，这样条件下本文可以建立转向架系统受控模型为一个单自由度时滞微分方程为：

，              (2)

这样转向架数字控制系统的稳定性就可以通过上述时滞微分方程的稳定性来确定。

2 转向架数字控制系统的稳定性分析

2.1 速度采样反馈控制系统的稳定性

文章进行如下参数变换：

，，，这样可以将公式(2)简化，通过对加速度积分和速度积分可得到转向架数字控制系统的差分方程为：

                         (3)

进一步可得到转向架数字控制系统差分方程(3)的特征方程为：

                      (4)

进一步通过Mobius变换将特征方程(4)转化为：

                  (5)

差分方程(4)的零解渐进稳定时，三次方程(5)的所有根都具有负实部即所有根都在复平面的右半侧。通过Routh-Hurwitz判别法，在受控系统的PI控制器参数均为正数时，方程(5)的所有根满足渐进稳定条件的充要条件在增益平面上的渐进稳定区域如图2所示：

图2  系统在差分方程下的稳定区域

2.2 连续时滞系统稳定性

此时，受控系统的微分方程为：

                          (6)

引入参数变换：，，，进一步可得到受控系统的特征函数：

                            (7)

受控系统的时滞微分方程(6)零解渐进稳定的充分必要条件是特征方程的所有跟都具有负实部。此节分析连续控制系统的稳定性区域采用D划分法，根据受控系统的临界稳定条件可得：

，

这样便可以画出在增益平面上的转向架控制系统的临界稳定曲线，进一步判断转向架受控系统的渐进稳定区域，采用稳定性切换方法，假设比例增益为分析参数，积分增益。则转向架受控系统的临界稳定曲线和比例增益轴的交点处所对应的值

这时，可以判断当转向架受控系统的临界稳定曲线在增益平面的下半平面沿逆时针方向穿越增益平面上的轴正半轴到增益平面的上半平面时，这时在增益平面的第一象限内转向架控制系统的临界稳定曲线右侧区域的PI控制器增益参数将使受控系统的特征方程增加一对共轭特征根。最后可以得到转向架控制系统的渐近稳定性区域的形状如图3所示：

图3  系统连续状态的渐近稳定性区域

通过图2和图3的稳定区域对比，发现连续时滞微分方程的分析方法所得到受控系统的稳定性区域大于非连续微分时滞方程的分析方法所得到的稳定性区域，即连续时滞反馈控制方式的稳定性区域大于数字采样反馈控制方式的稳定性区域。

4 结论

在状态反馈控制中，连续状态反馈控制的稳定性区域大于非连续状态反馈控制的稳定性区域。文中转向架数字反馈控制系统中，若是采用纯连续的动力学分析方法所得到的稳定性区域偏大，会导致参数设计时控制系统失稳，影响动车组列车的运行。这是数字采样反馈控制方式的缺点，也是计算机控制方式的固有属性，当控制系统在进行采样时，所得到的转向架速度采样信号会通过保持器至少保持一个采样周期不变，这样在计算控制率后，PWM输出的控制信号会是前一个采样周期的控制率，导致控制系统的控制器实时跟踪性降低。

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