主要研究方向：随机分析

基金项目：教育部供需对接就业育人项目（20230104862）；福建省自然科学基金面上项目（2022J011177）

中图分类号：O211.62          文献标识码：A

§1引言

Hardy不等式有着十分悠久的研究历史, 起源于Hardy在1925年的工作，可参见文献[6]。Hardy不等式在数学和物理等诸多领域中都有着十分广泛的应用，尤其是在调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科中占据着极其重要的地位。例如，在文献[7]中，Maz'ya等人将Hardy不等式用于获得先验估计、存在性和正则性结果；在文献[9]中，Vázque等人利用了Hardy不等式研究某些偏微分方程解的适定性和渐近行为。最近，Cao Jun等人在文献[3]中利用Dirichlet型的Green算子，证明了度量测度空间上局部和非局部正则Dirichlet型Hardy不等式的抽象形式。本文旨在给出度量测度空间中带余项的Hardy不等式，并给出其余项的精细刻画与分析。

§2 主要结论及证明

为阐述我们的主要结论，先对主要记号作如下说明。记为度量测度空间其中为M上的Radon测度且其对应的支撑为全空间M，用表示M上平方可积的可测函数全体，其对应的范数记为。设为的正则对称Dirichlet型，分别定义与为其对应的马氏半群与生成元算子。同时记为半群对应的马氏转移核，注意到这里我们不要求是保守的。下面给出本文的主要定理及证明。

定理2.1 对任意满足，有

                                                                                                                  (2.1)

证明:  对任意，定义

根据文献[5,引理1.3.4]，可知对于任意，满足

                                        (2.2)

进一步，我们有

由马氏半群的对称性可知，

(2.3)

下面我们证明所要的结论(2.1)式。事实上，对任意且，由(2.3)式知

注意到，

这样，

根据(2.2)式，令，可得我们的结论。

注意到，当时，

这样我们可得如下推论。

推论2.2  当时，

上述推论与文献[4]所得结论相符。实际上文献[4]是在为对称狄氏型的生成元，是上调和函数，即且的条件下，证明了

成立。但是推论2.2中我们并不要求是上调和函数，即。关于Dirichlet型Hardy不等式有许多深刻的结果，例如，可参见文献[3,1,8]。

另外，定理2.1给出了带余项Hardy不等式的刻画, 事实上带余项形式的Hardy不等式在文献[2]中已经给出。具体地说，若，并且在集合上满足，则有

这里为Dirichlet 型对应的热核。上述结论的证明充分利用了半群扰动的非爆炸性质。

§3 Hardy不等式余项的分析

本节我们定义

     (3.1)

接下来, 我们将分析的概率含义, 为此对定理1.1的约束函数，定义

(3.2)

我们首先有下面的引理。

引理3.1  记，则在空间中是对称算子。

证明:  对任意，有

则在空间中是对称的。这样根据的定义，可得所要的结论。

下面我们考虑的表达式。注意到，

从而

其中最后一个等式由转移核的对称性可得。

综上所述我们有下述命题。

命题3.2  对任意和，有

其中由(3.2)式给出。特别地，为上非负二次型。

注记3.3在本文中我们没有假设是保守的, 粗略地讲, 我们没有假定等于。由(3.2)式可以知道，满足，这样粗略来看，将对应于保守的马氏过程。另一方面，事实上在文章[10]中已用于刻画马氏过程的第一特征值，不过文章没有证明在空间上是非负定的。

综合定理2.1和命题3.2我们可得，

推论3.4 对任意和，有

其中由(3.2)式给出。

致谢作者深深感谢匿名审稿人宝贵的修改建议。

[参考文献]

[1] Belhadjrhouma N, Amor A.B. Hardy's inequalityin the scope of Dirichlet forms[J]. Forum Mathematicum,2012,24:751--767.

[2] Bogdan K., Dyda B., Kim P. Hardy Inequalities and Non-explosion Results for Semigroups[J]. Potential Analysis, 2016, 44:229–247.

[3] Cao J., Grigor’yan A., Liu L. Hardy’s inequality and Green function on metric measure spaces[J]. Journal of Functional Analysis, 2021, 281:109020.

[4] Fitzsimmons P.J. Hardy’s inequality for Dirichlet forms[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2000, 250:548–560.

[5] Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet Forms and Symmetric Markov Processes[M]. De GruyterStudies in Mathematics, 1994.

[6] Hardy G.H. Notes on some points in the integral calculus[J]. Messenger Math, 1925, 54: 150–156.

[7]Maz’ya V. Sobolev Spaces with Applications to Elliptic Partial Differential Equations[M]. Springer, Heidelberg, 2011.

[8]Rao M., Sikic H. Potential-theoretic nature of Hardy’s inequality for Dirichlet forms[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, 318:781–786.

[9]Vázquez J.L., Zuazua E. The Hardy inequality and the asymptotic behaviour of the heat equation with aninverse-square potential[J]. Journal of Functional Analysis, 2000, 173:103–153.

[10]Wang J. Sharp bounds for the first eigenvalue of symmetric Markov processes and their applications[J].Acta Mathematica Sinica, English Series, 2012, 28:1995-2010.