主要研究方向：随机分析

基金项目：教育部供需对接就业育人项目（20230104862）；福建省自然科学基金面上项目（2022J011177）

中图分类号：O211.62 文献标识码：A

0 引言

在偏微分方程理论中,热方程的研究有很长的历史,同时伴随着两个世纪以来数学理论的巨大进步,热方程的研究得到了快速的发展.其中,热方程解的渐近性质已经引起许多学者极大关注.例如,文献[1]中全面讨论了欧氏空间中经典热方程解的渐近性质,这些性质对于所有可积的初始值均成立,并在一些额外假设的条件下,验证结果的精确性.同时,文献[2]中指出了双曲空间上热方程解的长时间渐近性质并不是对所有的初始值均成立.文献[3]通过使用调和分析的方法,研究了在非紧对称空间下,一般情况下热方程解的长时间渐近性质.最近, Grigor’yan教授等人在文献[4]中研究了在黎曼流形上,布朗运动对应的具有初始值的热方程解的渐近性质.

1 主要结论

在给出本文的主要结论之前,我们先回顾上文所述文献[4]的相关结论.

定理1.1. 设是完备、连通、非紧、具有非负Ricci曲率的黎曼流形.设,热方程的解满足对任意,

且

其中热核为热方程最小正基本解.

受文献[4]启发,我们自然的提出一个问题,如果考虑度量测度空间上对称型过程其对应的热方程的解是否仍然有类似的性质?本文的目的就是给出上述问题的正面回答,为阐述我们的结果,我们首先给出框架和主要条件.

设为度量测度空间,其中是上具有全支撑的非负Radon测度.令表示上以为圆心, 为半径的开球,即

设在本文,我们总假设满足体积倍增条件,即

(VD):(Volume doubling condition) 存在正常数,使得对所有,,有

(1.1)

(RVD):(Reverse volume doubling condition) 存在正常数,使得对所有,满足,有

(1.2)

注意到,若是联通的且无界,那么(VD)(RVD),参见文献[5,推论5.3].

本文将考虑上对称马氏过程,记为对应的马氏半群.我们假设存在热核,即

其中,表示上空间.

我们假设满足一下条件,即

(1)热核上界:

(1.3)

(2)-Hölder连续性: 假设存在,使得

(1.4)

这里记,为上严格单调增函数,满足,,且存在常数,,对于所有的,有如下scaling条件

(1.5)

记号等价于存在常数使得.

设为半群的无穷小生成元算子.考虑如下热方程

(1.6)

容易知,如果初始值,则热方程有唯一解,它可以表示为

本文的主要定理如下:

定理1.2. 在上述假设条件下,设,并记热方程的解满足对任意,

(1.7)

且

(1.8)

注记2.3. (1)结合定理1.2与插值定理可知,当时,其中,对任意,

这里,满足

(2)比较定理1.1可知,对于度量测度空间中对称型过程其对应的热方程具有与黎曼流形上相同的渐近性质.

2 定理的证明

本节中,我们将对定理1.2进行证明,证明过程分成三个步骤.首先,利用连续紧支撑的初值,证明热方程(1.6)的解在中收敛;接着,我们利用稠密性,将特殊的初始值过渡到所有的初始值,证明结论仍然成立;最后,用同样的方法过渡到收敛.至此,我们将给出定理1.2的完整证明.

在定理1.2的正式证明之前,我们将给出两个引理,它们在定理1.2的证明过程中会被频繁使用.

引理2.1. 在(1.3)的条件下,对于任意和,有

(2.1)

且当时,有

(2.2)

证明: 我们首先证明(2.2)式.对任意,根据(1.3)式有  

其中,最后一个不等式根据(1.2)式得到,利用(1.5)式对进行估计,可知

显然这样(2.2)式成立.

为证明(2.1)式成立,我们设,则有

(2.1)式证毕.

下面我们取定正函数,它满足时,.给定并定义

(2.3)

引理2.2. 在(1.3)的条件下,对于足够大的,我们有

(2.4)

其中,常数和分别取自于(1.2)与(1.5)式.特别地,当时,有

(2.5)

证明: 我们首先证明(2.4)式成立.注意到

我们分别对和的积分范围进行估计.假设足够大,使得.利用(1.2)和(1.3)式,有

另一方面,令,即有.这样,根据(2.2)式,

结合以上两个部分,有

(2.4)式证毕.

由(2.4)式得,当时,显然有(2.5)成立.

下面开始对定理1.2的特殊情况进行证明.

命题2.3. 假设(1.3),(1.4)条件成立.设,满足supp ,其中,.设为正函数,满足当时,且.当充分大时,那么热方程(1.6)的解满足

(2.6)

且

(2.7)

其中,为(2.3)式定义的环,常数和分别取自于(1.2)与(1.5)式,且.特别地,当充分大时,

(2.8)

其中.

证明: 我们首先证明(2.6)式成立.根据引理2.2,有

(2.9)

因此,我们只需证

(2.10)

利用Fubini定理和supp ,我们有

我们注意到,当足够大时,对任意和,,其中

事实上,当且足够大时,有

及

则.这样,由引理2.2,可得

(2.10)式证毕.结合(2.9)和(2.10)式,可得(2.6)式成立.

我们接着证明(2.7)式成立.首先

根据条件(1.4)式,可知

利用Fubini定理且,有

(2.7)式证毕.

取足够小.并令,结合(2.6)和(2.7)式,有

其中.(2.8)式证毕.

在命题2.3基础上,我们现对定理1.2的一般情况进行证明.

证明: 根据稠密性,对任意固定,任意,存在,使得

我们首先证明(1.7)式成立.设,有

从而

(2.11)

设是具有初始值的热方程(1.6)的解,则有

(2.12)

另一方面,根据命题2.3中(2.8)式,对于足够大的,有

(2.13)

于是,结合(2.11),(2.12)和(2.13)式,可得到

(1.7)式证毕.

接着我们证明(1.8)式成立.由于是紧支撑的,且当足够大时,利用命题2.3中(2.7)式的证明,有

(2.14)

进一步,我们有

(2.15)

并且

(2.16)

于是,结合(2.14),(2.15)和(2.16)式,可得到(1.8)式成立.

3 例子

文献[6]给出度量测度空间中对称混合型过程对应热核上界估计的一系列等价刻画.另一方面,(1.4)式要求热核满足局部Hölder连续性,但它无法直接由对称混合型过程对应抛物调和函数的Hölder连续性得到.具体地说,文献[7]中考虑如下热核的连续性:

(3.1)

显然(3.1)式比(1.4)式弱.

下面我们简单举例说明欧氏空间中对称型过程满足定理1.2的假设条件.

设为上对称过程,其对应的无穷小生成元为.设为对应的热核,众所周知,

(3.2)

且

这里的记号等价于存在常数,使得.这样,任意,存在,有

其中最后一步根据(3.2)式得到.

综上所述,定理1.2对欧氏空间中对称型过程成立.特别地,由(1.8)式可知,

[参考文献]

[1] Vázquez J L. Asymptotic behaviour methods for the heat equation. Convergence to the Gaussian[J]. arXiv: 1706.10034.

[2] Vázquez J L. Asymptotic behaviour for the heat equation in hyperbolic space[J]. arXiv: 1811.09034.

[3] Anker J P, Papageorgiou E, Zhang H W. Asymptotic behavior of solutions to the heat equation on noncompact symmetric spaces[J]. arXiv: 2112.01323.

[4] Grigor’yan A, Papageorgiou E, Zhang H W. Asymptotic behavior of the heat semigroup on certain Riemannian manifolds[J]. arXiv: 2205.06105.

[5] Grigor’yan A, Hu J. Upper bounds of heat kernels on doubling spaces[J]. Moscow Math. J, 2014, 14: 505--563.

[6] Chen Z Q, Kumagai T, Wang J. Stability of heat kernel estimates for symmetric non-local Dirichlet forms[J]. Memoirs Amer. Math. Soc., 2021, 271: no 1330.

[7] Chen Z Q, Kumagai T, Wang J. Stability of parabolic Harnack inequalitiess for symmetric non-local Dirichlet forms[J]. J. Eur. Math. Soc., 2020, 22: 3747--3803.