主要研究方向：随机分析

基金项目：教育部供需对接就业育人项目(20230104862);福建省自然科学基金面上项目(2022J011177).

中图分类号：O211.62文献标识码：A

Keywords：Symmetric jump process,Heat kernel,Lower bound estimate.

1 引言

设为可测度量空间,其中的支撑为全空间.考虑上如下对称正则Dirichlet型

其中diag表示对角线集合.令为Dirichlet型的生成元,并设为正则Dirichlet氏型文所生成的对称Hunt过程.我们用表示对应的马氏半群，那么存在一个例外集,使得对任意上有界可测函数

称上的非负可测函数为半群对应的热核,如果对任意,有

近些年,有大量文献给出了非局部正则Dirichlet型的热核估计.例如, [1]首次建立了d-集上对称-stable过程热核的双边估计,之后[2]得到了度量测度空间中对称混合型-stable过程热核的相关性质. [1, 2]要求或其涉及到的Scaling函数的指标属于(0,2).最近, [3]建立了一般度量测度空间中对称混合型-stable过程热核双边估计成立的等价刻画,特别地给出了热核成立的稳定性结论.关于非局部Dirichlet型热核的相关结论可参见[4, 5, 6].

事实上,文[3]中也给出对称混合型-stable热核上界成立的等价刻画.而下界估计分两步,首先考虑对角线附近的估计,除了利用上界估计,它通常需要利用椭圆调和函数的连续性.其次利用Lévy系统给出对角线外的下界估计.这里需要指出的是,关于非局部Dirichlet型调和函数的连续性是十分深刻的课题,可参见[7, 8].本文的目的是指出热核对角线附近下界估计成立的等价刻画,它与算子函数空间的连续性有紧密的联系.

2热核对角线附近的下界估计

我们称可测度量空间满足体积倍增条件,若存在常数使得对任意和,

(2.1)

容易可知,条件(2.1)等价于存在常数和使得对任意和有

                     (2.2)

称可测度量空间满足可逆体积倍增条件,若存在常数和使得对任意和,

           (2.3)

定理2.1. 假设可测度量空间满足条件,且热核上界成立,即存在常数,使得对任意,几乎处处,有

         (2.4)

同时,存在,,,使得对任意,有

          (2.5)

那么,存在常数,使得当时,有

                        (2.6)

证明. 我们首先利用条件和(2.4)证明对角线上的下界估计,即对任意,几乎处处,有

                          (2.7)

事实上根据(2.4)可知,对任意给定,

(2.8)

其中不依赖于.这样,取充分大,有

那么对任意,几乎处处,有

                        (2.9)

接下来我们说明(2.7)成立.利用马氏性,与的对称性可知,

其中,第二个不等式依据Cauchy-Schwarz不等式,最后一个不等式利用了(2.9),故(2.7)得证.

接下来,我们利用(2.5)证明非对角线的下界估计.首先固定,对应用条件(2.9),即

         (2.10)

需要指出的是,由的分析性质可知,.注意到

且

因此

利用不等式,可得

进一步由(2.4)可知

再由是对称马氏半群,可知

因此有

从而

结合(2.10)可得

另一方面,由(2.7)可知,

那么

即

进一步当时,由(2.2)可知

由于,则存在足够小的a,使得当时,有

那么,存在,使得当时,有

证毕

之后,我们简记(2.6)为.回顾一下,我们称条件成立,若存在非负对称函数,使得对几乎处处,

且存在常数使得对任意,有

我们称条件成立,若存在常数和,使得对任意和以及几乎处处,存在上的截断函数使得下列不等式成立:

其中为对应的平方场算子,,

和.

我们称可测度量空间满足Faber-Krahn不等式,若存在正数C和,使得对任意球和开集,

其中

根据定理2.1,并结合[3,定理1.15],我们可得如下推论:

推论2.2. 假设,成立,若,与成立,则成立.

3下界估计的等价刻画

本节我们总假设,即存在,使得对任意,,有

.这时,变成为

                (3.1)

并记(3.1)为.

本节的主要结论是:

定理3.1. 假设度量测度空间满足条件,并且成立,则下面两个条件等价:

成立,即存在常数,对任意和几乎处处,当时,

                      (3.2)

存在,,,使得对任意,有

               (3.3)

证明. 直接由定理2.1得到.因此,接下来主要证明,我们采用[9,第4节]的证明思路.

首先,假设和成立,那么存在,使得对任意,几乎处处,有

              (3.4)

为此,我么利用[4,命题3.8].

根据[3,定理1.15]可知,蕴含与成立,如果存在常数,使得对任意和,有

其中.

我们称Drichlet热核的近对角线下界估计成立,若存在常数和,使得对任意和,有

其中.下面证明成立.事实上,给定sss,设.根据Hunt公式,对任意和几乎处处,有

由可知,存在使得对任意,有

从而

接下来,设,,其中,且满足,这里来自于(3.2).由可知

进一步根据的选取可知

这样成立.从而,由[4,命题3.8]可知(3.4)成立.

下面证明,对任意和以及几乎处处,有

            (3.5)

其中.事实上,对满足,有

进一步,由(3.4)可知

另一方面,由的马氏性,有

由不等式可知

那么(3.5)得证.

现在,取和,由于

那么

最后由(3.5)可推得

这样利用差值定理(具体可参见[9,命题4.3])可以证明所要的结论成立.

[参考文献]

[1]Chen Z Q, Kumagai T,Heat kernel estimates for stable-like processes on d-sets.Stoch. Proc. Their Appl., 2003, 108: 27–62.

[2]Chen Z Q, Kumagai T, Heat kernel estimates for jump processes of mixed types on metric measure spaces. Probab. Theory Relat. Fields, 2008,2008: 277–317.

[3]Chen Z Q, Kumagai T, Wang J. Stability of heat kernel estimates for symmetric non-local Dirichlet forms. Mem. Amer. Math. Soc., 2021, no. 271.

[4]Chen Z Q, Kumagai T, Wang J. Stability of parabolic Harnack inequalities for symmetric non-local Dirichlet forms. J. Eur. Math. Soc., 2021, 22: 3747–3803.

[5]Chen Z Q, Kumagai T, Wang J. Elliptic Harnack inequalities for symmetric non-local Dirichlet forms. J. Math. Pures Appl., 2019, 9: 1–42.

[6]Chen Z Q, Kumagai T, Wang J. Heat kernel estimates and parabolic Harnack inequalities for symmetric Dirichlet forms. Adv. Math. 2020, 374: no. 107269.

[7]Felsinger M, Kassmann M. Local regularity for parabolic nonlocal operators. Communications in Partial Differential Equations, 2013, 38: 1539–1573.

[8]Kassmann M, Mimica A. Intrinsic scaling properties for nonlocal operators. Journal of the European Mathematical Society, 2017, 19: 983–1011.

[9]Thierry C. Off-diagonal heat kernel lower bounds without Poincaré. J. London Math. Soc., 2003, 68: 795–816.